تحقیق ریاضی توسط علی سرداری نیا(خلاصه اي از تاریخچه ریاضی و ریاضیدانان(ریاضیات در قرن 18 میلادي )
این قرن را می توان قرن بهره برداري از حسابان نامید. وسیله اي که بلافاصله پس از
کشف، قادر به حل مسائلی شد که قبل از آن تسخیر ناپذیر می نمودند. گستردگی
کاربرهاي آن حتی در مکانیک و نجوم، چنان اعجاب آور بود که اکثر ریاضیدانان این
قرن را به خود جذب کرد و باعث تالیف مقالات بسیار شد. متاسفانه دقت کافی نیز در
اثبات قضایا منظور نمی شد و کم کم دومین بحران بزرگ تاریخ ریاضیات شکل
گرفت (اولین بحران، کشف عدد اصم در یونان باستان بود). این بحران، ورود بعضی
از تناقضات عجیب و غریب در ریاضیات بود. مشکلی که بخش بزرگی از فعالیتهاي
ریاضیدانان قرن نوزدهم، معطوف به حل آن شد. قرن هجدهم شاهد رشد بیش از
پیش نظریه احتمال، معادلات دیفرانسیل، هندسه تحلیلی، نظریه اعداد و نظریه
معادلات بود. ضمنا در این قرن معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، هندسه ترکیبی
و هندسه دیفرانسیل نیز پا به عرصه وجود گذاشتند. حال مشابه روشی که در قرن
هفدهم پی گرفتیم به معرفی ریاضیدانان بزرگ این قرن می پردازیم؛ با توجه به این
نکته که مطالب زیر بسیار کوتاه و کاملا گزینشی هستند. ذکر این نکته نیز لازم است
که ب راي فهم بعضی از مطالب زیر به معلومات دانشگاهی نیازمندیم.
III یوهان ،II یوهان
از سال 1654 تا 1863 (حدود 210 سال) پی گرفت. به جهت اختصار فقط به کارهاي
دو برادر اول می پردازیم.
1. خانواده برنولی:
این خانواده سوئیسی، یکی از متشخص ترین خانواده ها در
تاریخ ریاضیات بود. سابقه خانوادگی آنها با دوبرادر، یاکوب برنولی و یوهان برنولی
و نیز پسر
II آغاز می شود و با پسران یوهان به نامهاي نیکولاس، دانیل و یوهان
و نوادگان دیگر ادامه می یابد. سابقه خانوادگی آنها را می توان
- یاکوب برنولی: او کاربردهاي مهمی از مختصات قطبی را ارائه نمود، فرمول شعاع
انحناي یک منحنی در مختصات دکارتی و قطبی را استخراج کرد، منحنی همزمان را
کشف کرد (این منحنی یک سهمی از درجه سه دوم است که مماس در نقطه بازگشت
آن قائم است و هر جسم در امتداد آن با سرعت عمودي یکنواختی سقوط میکند)،
مساله شکلهاي هم پیرامون را طرح نمود
(مسیرهاي مسطح بسته اي از انواع مفروض که محیط آنها ثابت و مساحت آنها
ماکزیمم است) و کتاب معروف فن حدس زدن را در موضوع احتمال ریاضی تالیف
کرد. نام او در ریاضیات با توزیع برنولی و قضیه برنولی در آمار و احتمال، معادله
برنولی در معادلات دیفرانسیل، اعداد و چند جمله ایهاي برنولی در نظریه اعداد و
لمینسکات برنولی در حساب دیفرانسیل و انتگرال همراه است. جالب است که بدانیم
که کلمه انتگرال را نیز براي اولین بار، یاکوب برنولی به کار برد.
- یوهان برنولی: او به حسابان غناي زیادي بخشید و در شناساندن قدرت آن در اروپا
بسیار موثر بود. مقالات متعدد یوهان برنولی را مارکی دو لوپیتال در قالب اولین کتاب
درسی حسابان گردآوري و منتشر کرد (بد نیست بدانیم که بعدها قاعده صورت مبهم
صفر تقسیم بر صفر به غلط قاعده هوپیتال نام گرفت). محاسبه طول قوس منحنی ها،
حسابان توابع توانی و تلاش براي حل دو مساله مهم کوتاهترین زمان و همزمانی که به
دست آوردن منحنی هایی با شرایط خاص است، فهرستی از کارهاي مهم اوست. ضمنا
او یکی از موفقترین معلمین زمان خود بود.
2. دموآور: آبراهام دموآور یکی از دوستان صمیمی نیوتن بود و با تالیف سه
کتاب، نقش مهمی در نظریه آمار و احتمال دارد. بررسی انتگرال احتمالاتی معروف
ثابت اند و فرمول استرلینگ h و c براي اولین بار، بررسی منحنی فراوانی نرمال که
(که به غلط چنین نامگذاري شده است) و فرمول مشهور که ، همگی منسوب به
اوست.
٣
3. مک لورن: دانشجویان رشته هاي علوم پایه و مهندسی با دو بسط معروف و
بسیار مهم تیلور و مک لورن آشنایی دارند. بسط اول در 1715 و بسط دوم در 1742
معرفی شد. بسط مک لورن چیزي جز تعمیم بسط تیلور نیست و خود تیلور از بسط
مک لورن خبر داشت و قبلا آنرا معرفی کرده بود. مک لورن از نوادر عالم ریاضیات
بود. در 11 سالگی وارد دانشگاه شد. در 15 سالگی فوق لیسانس گرفت و در 19
سالگی به استادي دانشگاه انتخاب شد. در 21 سالگی کتاب مهم خود - هندسه ذاتی-
را منتشر کرد و در 27 سالگی استادیار دانشگاه بود. جالب است بدانیم که نیوتن براي
اینکه مشکل پرداخت حقوق او حل شود و او در دانشگاه بماند، مخارج او را شخصا
پرداخت می کرد تا دانشگاه از خدمات این نابغه قرن هجدهم بی بهره نماند. مک لورن
بعدها جانشین نیوتن شد.
4. اویلر: لئونهارت اویلر پرتالیف ترین نویسنده در تاریخ ریاضیات است و نام
وي در هر شاخه اي از این علم دیده می شود. او در طول عمرش 530 کتاب و مقاله
منتشر کرد. حتی نابینایی کامل او که در 17 سال آخر عمر، سراغش آمد، اثري در
شدت کار او نگذاشت و به کمک حافظه شگفت انگیز و توانایی تمرکز حواس حتی با
وجود سرو صداي زیاد، کار خود را با دیکته کردن به یک منشی و نوشتن فرمولها
روي یک تخته بزرگ، ادامه می داد. او شاگرد یوهان برنولی بود و 31 سال در آکادمی
سن پترزبورگ و 25 سال در آکادمی پروس به کارهاي علمی اشتغال داشت. او خارج
از ریاضیات، در فیزیک، نجوم، پزشکی، گیاهشناسی، شیمی، الاهیات و زبانهاي شرقی
استادي برجسته بود و از تاریخ مدنی و ادبی کلیه اعصار و بسیاري از ملل با اطلاع بود
و جالب است بدانیم که با این همه کار و مشغله علمی، 13 فرزند داشت!! فیزیکدانی
او را چنین معرفی می کند: اویلر را می توان بدون هیچ اغراقی، تجسم آنالیز دانست. او
بی هیچ تلاشی، محاسبات خود را انجام می داد درست به گونه اي که انسان نفس می
کشد و عقاب خود را در هوا نگاه می دارد. به خلاصه اي از کارهاي اویلر می پردازیم:
به R و r ، براي پایه لگاریتم طبیعی e ، - رسمیت یافتن نمادهاي براي نماد تابع
براي i ترتیب براي شعاع دایره محاطی و محیطی مثلث، براي علامت مجموعیابی و
٤
واحد انگاري را به او مدیونیم.
- فرمول بسیار مهم نیز از کارهاي اوست.
- در هندسه به خط اویلر مثلث برمی خوریم، در نظریه معادلات دانشجو روش اویلر
را براي حل معادلات درجه چهارم فرا می گیرد و در نظریه اعداد، تابع فی اویلر نقشی
مهم دارد. تابع گاما و بتا نیز منسوب به اویلر هستند. در معادلات دیفرانسیل، معادله
معروفی به نام معادله دیفرانسیل اویلر و نیز در معادلات دیفرانسیل جزئی، قضیه اویلر
درباره توابع همگن وجود دارد.
- او از اولین کسانی است که کسرهاي مسلسل را ایجاد کرد و به طور قابل توجهی
نظریه اعداد را غنا بخشید.
« مربعهاي لاتین » و « بازي شطرنج » - او مقالات زیادي پیرامون تفریحات ریاضی مانند
دارد.
- او در ریاضیات کاربردي مانند نظریه حرکت ماه، کشتی سازي و نظریه موسیقی نیز
کار کرده است.
- او کتابهاي درسی نیز تالیف می کرد، آنهم با نهایت وضوح، به تفضیل و کامل.
کتابهاي امروزي دانشگاهی، تقلیدي از سبک نوشتاري اویلر هستند.
5. کلرو: او از اعجوبه هاي ریاضی بود. در سن 11 سالگی مقاله اي درباره منحنی
هاي درجه سوم و بعد از آن مقاله دیگري درباره هندیه دیفرانسیل نوشت و در 18
سالگی یکی از اعضاي آکادمی علوم فرانسه شد. در 23 سالگی به همراه هیأتی علمی
مشغول اندازه گیري طول یک درجه از یک نصف النهار زمین شد. درباره نظریه شکل
زمین، نظریه ماه و بازگشت ستاره دنباله دار هالی کارهاي زیبایی انجام داد. در معادله
دیفرانسیل،معادله اي به نام معادله کلرو وجود دارد. پدر و برادر او نیز ریاضیدان بودند.
6. دالامبر: او یکی از پیشگامان حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی است.
او در ریاضیات کاربردي و مبانی آنالیز ریاضی کارهاي ارزشمندي دارد. دالامبر اعتقاد
داشت که براي قرار دادن آنالیز بر یک شالوده محکم، به نظریه معتبري از حد توابع
٥
نیاز است ولی معاصرین او اعتنایی به این مطلب نکردند. او براي اثبات قضیه اساسی
جبر - که هر چند جمله اي با ضرایب مختلط حداقل یک ریشه مختلط دارد - تلاش
بسیار کرد به گونه اي که هم اکنون این قضیه در فرانسه به قضیه دالامبر معروف است.
مطالب جالبی از دالامبر درباره ریاضیات نقل شده است. یکی از گفته هاي او را نقل
تردید ندارم که اگر انسانها جدا از هم » : می کنیم بدون اینکه درباره آن اظهار نظر کنیم
زندگی می کردند و در وضعیتی بودند که به چیز دیگري جز حفظ بقاي خود نمی
پرداختند، مطالعه علوم دقیقه را بر پروردن هنرهاي دلپذیر ترجیح می دادند، زیرا به
خاطر دیگران است که انسان در هنر به کمال می رسد ولی انسان به خاطر خویشتن،
خود را وقف علوم دقیقه می کند. بنابر این به نظر من، در جزیره اي متروك یک شاعر
به ندرت می تواند خود را مفید بداند، در حالی که یک ریاضیدان می تواند هنوز هم از
« . غرور اکتشاف سرشار باشد
7. لامبرت: یوهان هاینریش لامبرت، ریاضیدانی با کیفیت عالی بود و قوه تخیل
بسیار قوي داشت. پسر خیاط فقیري بود و عمدتاً پیش خود درس خوانده بود. او
x اولین کسی بود که اصم بودن عدد پی را به طور دقیق ثابت کرد. او نشان داد که اگر
اصم است. حال چون ، پس عدد پی اصم tan x گویاي ناصفر باشد آنگاه
است. بسط منظم نظریه توابع هذلولوي و نمادهاي امروزي این توابع را مدیون او
هستیم. او در منطق ریاضی و نیز هندسه نااقلیدسی نیز کار کرده است.
8. لاگرانژ: احتمالا می توان لاگرانژ را اولین آنالیزدان واقعی دانست. بعضی از
ریاضیدانان، لاگرانژ را حتی از اویلر نیز بزرگتر می دانند. نوشته هاي لاگرانژ کوتاهتر
اما بسیار دقیقتر از نوشته هاي اویلر است. ظاهراً شعور ریاضی او نیز از اویلر قویتر
بود. براي مقایسه این دو بد نیست بدانیم که می توان ریاضیدانان بزرگ را به دو دسته
عملگران رسمی خبره و نظریه پردازان خبره تقسیم کرد که عده کمی نیز در هر دو
دسته قرار دارند. با این دسته بندي اویلر در دسته اول، لاگرانژ در دسته دوم و گاوس
دانشمندي سر آمد در هر دو دسته بود. عبارت معروف و جالبی از لاگرانژ نقل شده
٦
یک ریاضیدان به فهم کامل هر بخش از کار خود » : است که به ذکر آن می پردازیم
دست می یابد مادام که چنان وضوحی به آن بخشیده باشد که بتواند آن را به نحو
مطالب دیگر «. قاطعی به اولین شخصی که در معبر به او برمی خورد، توضیح دهد
پیرامون اعتقادات لاگرانژ را در قسمت مربوط به لاپلاس خواهیم آورد. جالب است
لاگرانژ برج رفیع » : بدانید ناپلئون بناپارت درباره لاگرانژ چنین اظهار نظر کرده است
حال به کارهاي مهم او در ریاضیات می پردازیم: «. علوم ریاضی است
به لاگرانژ منسوب است. ،f - نمادهاي براي مشتق اول، دوم و ... تابع
- او بنیانگذار اولین نظریه توابع با یک متغیر حقیقی است.
که در آن روشی « در حل معادلات عددي از کلیه درجات » - لاگرانژ کتابی دارد به نام
براي تقریب ریشه هاي حقیقی یک معادله به کمک کسرهاي مسلسل ارائه می دهد.
- سهم او در پیشرفت معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی بسیار قابل توجه است.
- او میل وافري به نظریه اعداد داشت و رساله هاي مهمی در زمینه نگاشت. او این
قضیه مهم را که به نام خود او ثبت شد، اثبات کرد: هر عدد صحیح مثبت را می توان
به صورت مجموع حداکثر 4 مربع نوشت.
- بعضی از کارهاي او در نظریه معادلات بعدها رهنمون گالوا در نظریه گروهها شد و
قضیه مهمی به نام قضیه لاگرانژ در این نظریه وجود دارد.
9. لاپلاس: لاپلاس را نیوتن فرانسه می خواندند زیرا او کتابی پنج جلدي پیرامون
مکانیک سماوي تالیف کرد که همه کشفیات قبلی در این زمینه، همراه با سهم خود او
را در بر می گرفت و مولف را به عنوان استادي بی رقیب در این موضوع متشخص
کرد. او در احتمالات، معادلات دیفرانسیل و ژئودزي نیز کارهاي برجسته اي انجام داده
است. هم عصر لاگرانژ بود اما از بسیاري لحاظ با او تفاوت داشت. به طور مثال
کار لاگرانژ هم در صورت و هم در معنی » . تفاوت بارزي در سبک آنها وجود دارد
کمال دارد و فهم استدلالهاي او آسان است؛ اما لاپلاس هیچ چیز را توضیح نمی دهد،
به سبک اعتنا نمی کند و اگر قانع شود که نتایجش درست هستند، برهانی براي آن
یکی از منجمین متذکر شده است که «. ارائه نمی کند یا برهان غلطی ارائه می کند
٧
لاپلاس بربخورم بی آنکه مجبور « بنابر این آشکار است » هرگز نشد به یکی از عبارات
باشم ساعتها براي پر کردن این شکاف کار کنم تا آن را بفهمم و نشان دهم که این
مطلب چگونه به سادگی آشکار است!! در نظر لاپلاس ریاضیات کوله اي از ابزار است
که براي توضیح طبیعت به کار می رود؛ اما در نظر لاگرانژ، ریاضیات هنري والاست و
دلیل وجودي آن، خود آن است. البته لازم است بدانیم که لاپلاس براي مبتدیان در
تحقیقات ریاضی بسیار سخی بود و در موارد متعددي از انتشار کشف خود، اجتناب
می کرد تا به یک مبتدي اجازه دهد که زودتر از او فرصت انتشار آن را داشته
باشد. لاپلاس دقیقاً صد سال بعد از درگذشت نیوتن از دنیا رفت و بنابر روایتی آخرین
کلمات او چنین بود: آنچه می دانیم بسیار کم و آنچه نمی دانیم به غایت زیاد است.
10 . لژاندر: کار عمده لژاندر حول نظریه اعداد، توابع بیضوي، روش کمترین
« اصول هندسه » مربعات و انتگرالها متمرکز بود. شهرت او عمدتاً به خطر کتاب
اوست که در آن قضایاي هندسه اقلیدس مجدداً تنظیم و ساده شده است. بعدها
این تالیف به صورت نمونه کتاب درسی در آمریکا درآمد و ترجمه انگلیسی آن 33
مرتبه تجدید چاپ شد. نام لژاندر امروزه با یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم و جواب
این معادله یعنی توابع لژاندر و چندجمله ایهاي لژاندر و نیز در نظریه اعداد با نماد
معروف لژاندر پیوند خورده است. او یک کتاب 859 صفحه اي در دو جلد در نظریه
اعداد دارد که اولین کتابی است که منحصراً به نظریه اعداد اختصاص دارد. او همچنین
نوشت که به علت جامعیت و قابل درك « تمرینهاي حساب انتگرال » کتابی به نام
بودن با اثر مشابه اویلر برابري می کند. او به خاطر مثلث بندي کشور فرانسه به شهرت
قابل توجهی دست یافت.
11 . مونژ: گاسپار مونژ در 16 سالگی معلم فیزیک مدرسه اي شد که خود در آن
درس خوانده بود. او با ابداع هندسه ترسیمی - که نمایش اشیاء سه بعدي به کمک
تصاویر دو بعدي است - معروف شد. او در دانشگاه فیزیک نیز تدریس می کرد و
معلمی با استعداد استثنایی بود. مونژ را پدر هندسه دیفرانسیل می دانند. اثر او تحت
٨
پنج بار چاپ شد و یکی از مهمترین مباحث اولیه « کاربرد آنالیز در هندسه » عنوان
هندسه دیفرانسیل رویه ها بود. او در این اثر، مفهوم خطوط انحناي یک رویه در
فضاي سه بعدي را معرفی کرد. همچنین مطالبی که هم اکنون در هندسه تحلیلی
فضایی مانند بررسی خطها و صفحات در فضا، فرمولهاي انتقال و دوران محورها،
فاصله یک نقطه از یک خط در فضا و کوتاهترین فاصله بین دو خط متنافر بررسی می
شود از کارهاي مونژ است. جالب است بدانید که او دوست نزدیک ناپلئون و به شدت
و در همه حال به او وفادار بود چه زمانی که ناپلئون بناپارت سرجوخه اي آرمانگرا و
انقلابی بود و چه زمانی که امپراطوري خود خواه و مستبدي شد. مونژ مدتی به عنوان
وزیر نیروي دریایی وارد خدمت شد و به ساختن اسلحه و باروت براي ارتش
پرداخت. او دو برادر داشت که آنها نیز استاد ریاضیات بودند.
12 . کارنو: او یکی از دانشجویان مونژ بود و او نیز شغل نظامی داشت. همانند
استادش هندسه دان بود و براي اولین بار کمیتهاي جهت دار را در هندسه ترکیبی به
کار گرفت. یکی از کارهاي کارنو پیدا کردن حجم یک چهار وجهی بر حسب شش
یال آن بود. در ضمن فرمولی شامل 130 جمله به دست آورد که هر یک از 10 پاره
خط واصل بین دو نقطه از 5 نقطه تصادفی در فضا را بر حسب 9 پاره خط دیگر بیان
که بعدها فیزیکدان برجسته اي شد. او به « سعدي » می کند. کارنو پسري داشت به نام
دلیل علاقه اي که به سعدي شیرازي داشت پسر خود را چنین نامگذاري کرد. نوه اي
هم به نام سعدي داشت که رئیس جمهور فرانسه شد. کارنو بر خلاف مونژ بر علیه
ناپلئون راي داد و راهی تبعیدگاه شد.
13 . سوفی ژرمن: این قرن شاهد ورود جدي زنان به پهنه هاي ریاضیات بود. سوفی
یکی از معروفترین - « اکول پلی تکنیک » ژرمن به علت زن بودن از ثبت نام در
دانشگاهاي فرانسه- منع شد؛ اما یادداشتهاي اساتید زیادي از آنجا را تهیه می کرد و
حتی با اسمی مستعار مقالاتی نوشت که تحسین لاگرانژ را برانگیخت. او حتی بعدها
مورد تعریف و تمجید گاوس نیز قرار گرفت. در سال 1816 آکادمی فرانسه به خاطر
٩
مقاله اي در نظریه ریاضی کشسانی، جایزه اي به وي اعطا کرد. او مفهوم انحناي
میانگین را به هندسه دیفرانسیل رویه ها معرفی کرد.
خلاصه اي از تاریخچه ریاضی و ریاضیدانان(ریاضیات در قرن 17 میلادي)
7. ریاضیات در قرن 17 میلادي
این قرن یکی از مهمترین قرنها در تاریخ ریاضیات است زیرا اساساْ دامنه تحقیقات
گسترده در ریاضی، در همین قرن بر بشر گشوده شد، شاید به دلیل آزادیهاي فکري
بیشتر، پیشرفتهاي سیاسی، اقتصادي و اجتماعی و در نتیجه رفاه بیشتر زندگی-به ویژه
در مقابل سرما و تاریکی شمال اروپا.
پیشرفت علم ریاضی در این قرن آنقدر وسیع و گوناگون است که حتی نوشتن خلاصه
اي از آن نیز مثنوي هفتاد من کاغذ خواهد شد. به ناچار باید به گزینش بعضی از
کارهاي اصیلتر و مهم تر در تاریخ ریاضی این قرن تن داد. از مهمترین اکتشافات - و
شاید هم اختراعات - ریاضی در این قرن می توان به مطالب زیر اشاره کرد:
الف) کشف لگاریتم
ب) تدوین علامات و نمادگذاریهاي کنونی جبري
ج) گشوده شدن پهنه جدیدي در هندسه محض به ویژه هندسه تصویري
د) آغاز اتصال جبر و هندسه با کشف هندسه تحلیلی
ه) پیشرفتی شگرف در نظریه اعداد و نیز تولد نظریه احتمال
و) کشف یکی از بزرگترین دستاوردهاي بشر یعنی حساب دیفرانسیل و انتگرال
شاید بهترین راه براي بررسی تاریخ ریاضی این قرن، شرح مختصري از زندگانی
١٠
ریاضیدانان برجسته قرن هفدهم باشد.
ریاضیدانان برجسته قرن هفدهم:
1. نپر: چهار اختراع، بشر را در فن محاسبه چیره دست کرد: نماد گذاري هندي-
سومین « جان نپر » . عربی، چگونگی محاسبه مربوط به کسرها، لگاریتم و رایانه ها
اختراع را به نام خود ثبت کرد. او به طرز عجیبی، هم سیاسی و هم مذهبی بود و نبوغ
او در پیشگویی وسایل جنگی چهار قرن بعد از خود اعجاب آور است. تعریف
لگاریتم به وسیله نپر، بیشتر فیزیکی است تا ریاضی. بد نیست بدانیم که پایه لگاریتم
است که البته خود او چیزي e نیست بلکه معکوس e نپر بر خلاف تصور عموم، عدد
در این زمینه نمی دانست. تذکر این نکته لازم است که در تکمیل مفهوم لگاریتم و
که یکی از دوستان نپر بود، سهم بسزایی دارد و « هنري بریگز » ، جداول مربوط به آن
می نامند. لگاریتم به معناي « لگاریتم بریگزي » لگاریتم معمولی در پایه 10 را معمولاْ
است که البته این مفهوم، همان طور که ذکر شد بر اساس تابع توانی -که « عدد نسبت »
هم اکنون تدریس می شود- به وجود نیامد و یکی از امور خلاف قاعده در تاریخ
ریاضیات، کشف لگاریتم، پیش از به کار بردن نماهاست. البته سه اختراع مهم دیگر نیز
در تاریخ ریاضی، به نام جان نپر به ثبت رسیده است.
2. پاسکال: این نابغه فرانسوي، یکی از بنیانگذاران هندسه محض و پیشرفته و نیز
نظریه احتمال است. خواص اصلی اشکال معروف هندسی را در کودکی، بدون معلم و
فقط با تلاشهاي خودش به دست آورد. در شانزده سالگی مقاله اي درباره مقاطع
مخروطی نوشت و در هجده یا نوزده سالگی، اولین ماشین حساب مکانیکی را اختراع
کرد. اما متاسفانه در طول 39 سال زندگی، به دلیل افراط و تفریطهاي مذهبی، جسم
ضعیف خود را بارها و بارها آزرد و چندین بار از ریاضیات دست کشید و دوباره به
در تاریخ «!! چه ها که می شد » آن بازگشت. پاسکال را به عنوان یکی از بزرگترین
ریاضیات شمرده اند. بعضی از کارهاي او عبارتند از:
- تالیف مقاله مهمی درباره خواص اصلی مثلث خیام-پاسکال که در آن به طور جالبی
١١
از قدیمی
ترین احکام قابل قبول استقراي ریاضی استفاده شده است.
که درباره یک 6 ضلعی محاط در « هگزاگرام رمزي » - کشف و اثبات قضیه مشهور
یک مقطع مخروطی است.
ریاضیدان بزرگ فرانسوي). این علم به ) « فرما » - پی ریزي علم احتمال به همراه
در یک بازي « مساله امتیازها » وسیله مکاتباتی بین پاسکال و فرما در تلاش براي حل
شانسی به وجود آمد.
- اثري درباره منحنی سیکلوئید. این منحنی توسط نقطه اي واقع بر محیط یک دایره،
هنگامی که دایره در امتداد خط مستقیمی بدون اصطکاك می غلطد، رسم می شود. این
منحنی دههاخواص جالب و بسیار زیبا دارد و اختلافات بسیاري بین ریاضیدانان ایجاد
گفتند (این نام بر اساس یک افسانه یونانی انتخاب « سیب نفاق » کرد به طوري که به آن
شده است، جالب است که از دوران این منحنی حول محور طولها، چیزي شبیه به
سیب ایجاد می شود.
3. دکارت: دکارت را معمولاْ مبدع هندسه تحلیلی می دانند که از روشهاي
جبري براي حل مسائل هندسی استفاده می کرد. این کار کمک بسیاري در ساده سازي
مفاهیم هندسی و حل مطالب غامض و پیچیده آن کرد. او همچنین به حل معادلات
براي « قاعده علامات دکارت » با درجات بالاتر از 2 پرداخت و قاعده زیبایی را به نام
تعیین تعداد ریشه هاي مثبت و منفی یک چند جمله اي به دست آورد
. او براي اولین بار از روش ضرایب نامعین استفاده کرد که همان متحد قرار دادن دو
چند جمله اي هم درجه براي به دست آوردن ضرایب نامعین است. البته دکارت در
جهان بیرون از ریاضیات، فیلسوف بسیار مشهوري است و مطالب بسیاري را به جهان
فلسفه تقدیم کرده است که البته بعضی از آنها کاملاْ نادرست هستند. در ضمن
داستانهاي جالبی درباره چگونگی کشف هندسه تحلیلی به او نسبت می دهند که
ارزش آموزشی زیادي دارد
١٢
4. فرما: معمولاْ فرما را بزرگترین ریاضیدان قرن هفدهم فرانسه می دانند. او
حقوقدان بود و شغل رسمیش وکالت بود، اما قسمت مهمی از ساعات فراغت خود را
وقف ریاضیات می کرد. او در بسیاري از شاخه هاي ریاضیات کارهاي مهم و اساسی
انجام داده است که مهمترین این کارها عبارتند از:
- تحقیقات اساسی پیرامون هندسه تحلیلی. فرما را باید در کنار دکارت یکی از
موسسان هندسه تحلیلی نامید. معمولاْ گفته می شود که کارهاي فرما عکس کارهاي
دکارت بوده است. دکارت از مکان هندسی شروع می کرد و به معادله آن می رسید، اما
فرما از معادله شروع و سپس مکان هندسی آن را مطالعه می کرده است.
- تاسیس نظریه نوین اعداد. فرما شهود و توانایی خارق العاده اي در نظریه اعداد
داشت. قضایاي بسیاري را در این زمینه با اثبات یا بدون اثبات بیان کرد که بعدها
درست بودن اغلب قضایاي ثابت نشده او به ثبوت رسیدحدس مشهور او به نام
در آخرین دهه قرن بیستم به اثبات رسید! « حدس آخر فرما »
- فرما به همراه پاسکال اساس علم احتمال را پی ریزي کرد.
- فرما در حساب دیفرانسیل نیز کارهاي اساسی کرد. او ظاهراْ اولین کسی بود که از
نقاط ماکزیمم و می نیمم یک تابع را به دست آوردهمچنین f'(x)= طریق معادله 0
او یک روش کلی براي یافتن مماس بر نقطه اي از یک منحنی که مختصات دکارتی آن
معلوم باشد، ابداع کرد ریاضیدانان معروف قرن 17 که قبل و یا همزمان با نیوتن می
زیستند و در شکل گیري و پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال نقش بسزایی داشتند:
1) سیمون استوین ( 2) لوکا والریو (این دو همان روشی را به کار بردند که ما براي )
پیدا کردن حجم یک جسم در حساب انتگرال به کار می بریم.) ( 3) کاوالیري ( 4) فرما
5) جان والیس (نماد معروف بی نهایت را نیز به او مدیونیم.) ( 6) آیزاك برو (که )
احتمالاْ قضیه اساسی حسابان را اولین بار او ثابت کرد.)
6. نیوتن: صحبت کردن پیرامون نیوتن و کارهاي او ساده نیست. ریاضیدان و
فیزیکدانی که به گفته لاگرانژ بزرگترین نابغه اي است که در جهان زیسته است.
رقیب سرسخت او در ستایشی بزرگ منشانه، نیمی از کارهاي انجام « لایبنیتز » همچنین
١٣
شده ریاضی بشر تا عهد نیوتن را متعلق به نیوتن می داند. انسانی که در 23 سالگی به
درجه اي رسید که می توانست مماس و شعاع انحنا در یک نقطه از منحنی را پیدا کند.
روشی که امروزه تحت عنوان حساب دیفرانسیل شناخته می شود. در 27 سالگی به
استادي دانشگاه برگزیده شد و حدود 65 سال در ریاضیات و فیزیک کار کرد. پاپ
طبیعت و قوانین طبیعت در » : دستاوردهاي نیوتن را بدین صورت بیان کرده است
البته «. ظلمت نهفته بودند، ذات باري فرمود نیوتن به وجود آید و همه چیز روشن شد
نیوتن نیز خاضعانه در مقابل ستایشها می گفت که من همچون کودکی در حال بازي
در کنار دریا هستم که گاهی صدفهاي زیبایی توجهم را جلب می کند اما اقیانوسی از
حقایق کشف ناشده در مقابلم قرار دارد. یکبار هم گفت که اگر افق دید او گسترده تر
از دیگران است بدین علت است که بر دوش غولان ایستاده است و شاید منظور او از
غولان، ارشمیدس و امثال او باشند. کارهاي ریاضی او به طور خلاصه به شرح زیر
است:
ستاره شناس معروف « هالی » که با اصرار « اصول ریاضی فلسفه طبیعی » - تالیف کتاب
و با هزینه او در سال 1687 چاپ شد. این کتاب به مطالعه دستگاه دینامیکی پدیده
هاي زمینی و سماوي می پردازد و یک صورت بندي ریاضی از این پدیده هاست. این
کتاب پرنفوذ ترین اثر در تاریخ علم به حساب می آید و تاثیر بسیاري بر دنیاي جدید
داشت. تاریخ ریاضیات ابتدایی اساساْ با آن پایان می یابد.
- بسط روش بی نهایت کوچکها یا همان حساب دیفرانسیل و نیز روشهاي مربوط به
سریهاي نامتناهی
- بسط روشهاي مربوط به ماکزیمم و می نیمم توابع، مماس بر منحنی ها، انحناي
منحنی ها، نقاط عطف، تحدب و تقعر منحنی ها، محاسبه مساحتهاي زیر منحنی ها و
طول قوس آنها
- ارائه روشی براي تقریب زدن مقادیر ریشه هاي حقیقی یک معادله جبري یا غیر
جبري و نیز روشهاي زیبایی براي مطالعه منحنی هاي درجه سوم
١٤
7. لایبنیتز: این نابغه جامع ریاضیات، فلسفه، الاهیات و حقوق، رقیب جدي نیوتن
در ابداع حسابان بود. عقیده رایج امروز این است که نیوتن و لایبنیتز، حسابان را
مستقل از یکدیگر کشف کردند، اما لایبنیتز نتایج را زودتر انتشار داد، هر چند که
کشف نیوتن زودتر انجام شده است، اما متاسفانه مشاجره اسفباري بین این دو بر سر
تقدم در کشف حسابان در گرفت و هر کدام خود را موسس حساب دیفرانسیل و
انتگرال می دانست. هر دو نیز در این مناقشه زیان دیدند، به ویژه نیوتن و ریاضیدانان
همعصر او در انگلستان. البته لازم است ذکر شود که لایبنیتز را بزرگترین نابغه جامع
قرن هفدهم می نامند و ظاهراْ تنها شخص شناخته شده تاریخ ریاضیات است که هم
در ریاضیات پیوسته و هم در ریاضیات گسسته داراي اندیشه اي عالی بوده است. بد
نیست بدانیم که لایبنیتز در واقع یک سیاستمدار و یک دیپلمات بود که براي انجام
کارهاي سیاسی به کشورهاي دیگر سفر می کرد. کارهاي او در ریاضیات به طور
خلاصه عبارتند از:
- ارائه قسمت مهمی از نمادهاي کنونی ما در حساب دیفرانسیل و انتگرال از قبیل نماد
یک کلمه لاتین به - Summa کشیده S و علامت انتگرال که از dy/dx و dx
معناي مجموع- اقتباس شده است. هم اکنون از نمادهاي نیوتن آنچنان استفاده نمی
شود.
- استخراج بسیاري از قواعد مقدماتی مشتق گیري که معمولاْ در ابتداي درس
مشتق در سطوح مختلف دبیرستانی و دانشگاهی آموزش داده میشود. قاعده یافتن
ام حاصلضرب دو تابع را قاعده لایبنیتز می نامیم -n مشتق
- تلاش براي پایه گذاري نظریه پوشها و تعریف دایره بوسان براي اولین بار
- ارائه اولین ایده ها در منطق ریاضی و نظریه مجموعه ها. او مجموعه تهی و احتواي
مجموعه ها را نیز مطالعه کرده است و متوجه شباهتهاي نظریه مجموعه ها و منطق
ریاضی شده است (به طور مثال شباهت قوانین دمرگان در نظریه مجموعه ها و منطق).
- لایبنیتز احتمالا جزو اولین ریاضیدانانی است که نظریه قدرتمند دترمینانها را براي
حل دستگاه معادلات خطی پدید آورده اند.
١٥
خلاصه اي از تاریخچه ریاضی و ریاضیدانان(ریاضیات اروپایی- قرون ششم تا
آخر قرن شانزدهم)
6. ریاضیات اروپایی- قرون ششم تا آخر قرن شانزدهم
(الف) قرن ششم تا قرن یازدهم:
در طول پانصد سال که به عصر تاریکی اروپا شهرت دارد و با سقوط امپراطوري رم
در اواسط قرن پنجم شروع شد و تا قرن یازدهم ادامه یافت، تقریباْ کار خاصی در علم
به طور عام و در ریاضیات به طور خاص انجام نشد. از ریاضیدانان این دوران، معمولاْ
از چهار نفر نام می برند که عبارتند از: بوئتیوس، بید، آلکوین و پاپ سیلوستر دوم نام
می برند. این چهار نفر با تالیف کتب ریاضی - که معمولاْ بسیار ضعیف بودند - و
تدریس آنها، در تاریخ ریاضیات این دوران بسزایی ایفا کردند. جالب است بدانیم که
پاپ سیلوستر دوم در مدارس مسلمانان اسپانیا درس خوانده بود.
(ب) قرن دوازدهم:
از اوایل قرن دوازدهم میلادي، آثار یونانی و اسلامی به اروپاي غربی انتقال یافت و
این قرن در تاریخ ریاضیات، به قرن مترجمین بدل شد. اصول اقلیدس، المجسطی
بطلمیوس و جبر خوارزمی به لاتین ترجمه شدند و دستگاه شمار هندي-عربی در
اروپاي غربی رواج یافت.
(ج) قرن سیزدهم و چهاردهم:
به عنوان با استعدادترین ریاضیدان اروپا در قرن « لئوناردو فیبوناتچی » معمولاْ از
سیزدهم یا حتی قرون وسطی نام می برند. او در ایتالیا به دنیا آمد و در الجزایر بزرگ
شد. در سفرهایش به مصر، سیسیل، یونان و سوریه مطالب بسیاري آموخت و پس از
را « لیبرآباکی » یا « کتاب حساب » مراجعت به وطنش ایتالیا، بزرگترین کتاب خود به نام
منتشر کرد. این کتاب که تاثیر بسیاري بر ریاضیات اروپاي غربی داشت، ظاهراْ
براساس جبر خوارزمی و ابوکامل نوشته شده است، هر چند که تحقیق مستقلی در
حساب و جبر مقدماتی است. دنباله معروف فیبوناتچی در همین کتاب معرفی شده
١٦
نوشت که این « کتاب مجذورات » و « هندسه عملی » است. او دو کتاب دیگر به نامهاي
آثار فراتر از تواناییهاي اغلب فضلاي معاصر وي بودند. البته گفته شده است که
شهرت بسیار فیبوناتچی، به دلیل فقدان معاصرین همتا با وي در اروپا بوده است نه به
دلیل ویژگیهاي علمی بالاي آثار او.
لازم است که بدانیم قرن سیزدهم، شاهد ظهور دانشگاههاي پاریس، آکسفورد،
کیمبریج، پادوآ و ناپل است که بعضی از آنها به تقلید از دانشگاههاي اسلامی بنا شده
است.
معروف است، کار قابل ملاحظه اي در « مرگ سیاه » در قرن چهاردهم که به قرن
ریاضیات انجام نشد جز نشانه هایی از پیدایش هندسه مختصاتی نوین و نیز مفاهیم
اساسی پیوستگی و گسستگی و نیز مفاهیم بی نهایت کوچک و بزرگ.
(د) قرن پانزدهم و شانزدهم:
تاریخ قرن پانزدهم با آغاز رنسانس اروپا، زوال امپراطوري بیزانس به دست
مسلمین، انتشار آثار کلاسیک یونان به زبان اصلی، اختراع صنعت چاپ که نشر دانش
را با سرعتی بی سابقه میسر کرد و کشف قاره آمریکا که کشتیرانی دور کره زمین و
فعالیتهاي تجاري را افزونتر کرد، عجین شده است. این وقایع خود به خود بر پیشرفت
ریاضیات اثر بسیار نهادند. در این قرن کم کم شاهد ظهور علامات + و -- (جمع و
تفریق) و نیز استفاده از علاماتی براي مختصر نویسی ریاضی هستیم.
قرن شانزدهم شاهد یکی از کارهاي مهم در تاریخ ریاضیات است. در این قرن
نمادگرایی در جبر آغاز شد. نماد معروف تساوي در این قرن به کار گرفته شد که
که اولین بار آنرا « رکورد » علامت یک جفت پاره خط موازي و مساوي است. به قول
به کار برد، هیچ دو شیئ نمی توانند مساوي تر از این باشند. نماد رادیکال نیز در همین
ریشه) ) radix و به نشانه r قرن ابداع شد. احتمالاْ این نماد به جهت شباهت آن به
به کار گرفته شده است. در قرن شانزدهم اعداد منفی نیز مورد توجه قرار گرفتند.
در این قرن، از ریاضیات براي مقاصد اعتقادي نیز استفاده می شد. به عنوان مثال، از
ریاضی حتی براي تفسیر آیات انجیل و تورات استفاده کردند.
١٧
احتمالاْ جالبترین دستاورد ریاضی قرن شانزدهم، کشف راه حل جبري معادلات درجه
« کاردانو » ،« تارتاگلیا »،« فرّو » : 3 و 4 توسط چهار ریاضیدان ایتالیایی است که عبارتند از
داستان این کشف و نیز زندگانی این ریاضیدانان، یکی از .« فراري » (یا کاردان) و
خواندنی ترین فرازهاي تاریخ ریاضیات است که چون هدف ما بیان خلاصه اي از
وقایع تاریخ ریاضی است، از شرح آن - البته با اکراه- می گذریم. براي مطالعه آن به
صفحات 266 تا 271 جلد اول تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز مراجعه فرمایید.
نام برد که سهم « فرانسوا ویت » ، بالاخره باید از بزرگترین ریاضیدان فرانسوي این قرن
قابل ملاحظه اي در پیشرفت مثلثات دارد. او جبردان برجسته اي نیز بود و روشی براي
تقریب ریشه یک معادله ارائه و معادله درجه 3 را به روشی غیر از روش کاردان-
2a تارتاگلیا حل کرد.نمادهاي خاصی را نیز هنگام نوشتن به کار می برد. مثلاْ به جاي
.aaa و aa : 3 می نوشت a و
البته لازم است بدانیم که در این قرن چند جدول عالی براي محاسبه نسبتهاي ششگانه
مثلثاتی تالیف شد که بعضی از آنها تا 10 رقم اعشار دقت داشتند و محاسبه آنها 12
سال طول کشید.
خلاصه اي از تاریخچه ریاضی و ریاضیدانان(ریاضیات دوره اسلامی)
5. ریاضیات دوره اسلامی
آغاز و انجام تمدن اسلامی یکی از عجیب ترین وقایع تاریخ بشر است. مردمی که
قرنها در توحش می زیستند، سواد در میان آنها محلی از اعراب نداشت، دختران خود
را زنده به گور می کردند، بدترین غذاها را می خوردند و دائماْ در حال نزاع قبیله اي
بودند، فقط در عرض حدود 90 سال، تمدنی را بر پا کردند که از کرانه هاي سند در
هندوستان تا شمال افریقا و اسپانیا امتداد داشت. تمدنی که فراگرفتن علم و دانش را
جهاد راه خدا می دانست و در کتابخانه هاي آن هزاران جلد و در بعضی از آنها حدود
چهار صد هزار جلد کتاب موجود بود- مانند کتابخانه سلطنتی امیر قرطبه. به قول
جواهر لعل نهرو، در بعضی از مناطق این تمدن پهناور، تقریباْ همه سواد خواندن و
نوشتن داشتند و بعضی از شهرهاي آن بالغ بر یک میلیون نفر جمعیت داشت با تمام
١٨
امکانات رفاهی لازم. مسلمانان علوم دقیقی همچون ریاضی، فیزیک، شیمی، مهندسی،
پزشکی، نجوم و دریانوردي را با علوم معنوي همچون فلسفه، منطق، حکمت و عرفان
پیوند داده بودند. چنین تمدنی- اما - به دلیل دور شدن مسلمین از احکام زیباي
اسلام، کم کم رو به زوال نهاد و جاي خود را به تمدن غرب داد.
تمدن غرب به گواهی صدها سند و مدرك، وجود خود را مدیون تمدن اسلامی است.
اما ریاکارانه سعی در پنهان کردن این دین و کم اهمیت جلوه دادن تمدن بزرگ
اسلامی داشته و دارد. غربیها - جز اندکی از دانشمندان منصف آن- سعی دارند که
چنین جلوه دهند که تنها نقشی که تمدن هفتصد ساله اسلامی دارد، همانا محافظت از
علوم یونانی و انتقال آنها به اروپاست که توهینی بس بزرگ به این تمدن شکوهمند و
دروغی کاملا آشکار است.
با نگاهی به کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز که در حال حاضر یکی از منابع مهم
دانشگاهی کشور در درس تاریخ ریاضی است، می توان بارها و بارها این بی انصافی
را مشاهده کرد. به طور مثال وقتی از تمدن اسلامی صحبت می کند با دهها دانشمند
عالیمقام آن، تنها حدود 15 صفحه را به آن اختصاص می دهد، اما براي تشریح تاریخ
ریاضیات قرون وسطی - یا به قول خودشان قرون تاریکی - تا آخر قرن شانزدهم که
مدت آن حدود 1000 سال و کارهاي اصیل ریاضی در آن کم است، 47 صفحه از
کتاب را پر می کند و حتی گاهی به جزئیات کتابهاي ریاضیدانان این عصر می پردازد.
به طور مثال رجوع کنید به صفحات 255 و 256 (جلد اول، ویرایش دوم) که درباره
کتاب مشهور فیبوناتچی صحبت می کند( کتابی که اساساْ کپی هنرمندانه ،« لیبرآباکی »
اي از آثار خوارزمی و ابوکامل به همراه تحقیقات اوست) یا اواخر صفحه 259 و اول
صفحه 260 که درباره کتاب رگیومانتوس صحبت می کند و نیز شکل صفحه 265 . در
اینباره حرف بسیار است و درد دل فراوان که انشاءالله در وقت و جاي مناسب درباره
قضاوت منصفانه را به خواننده » . آن مفصلاْ و به طور کاملاْ مستند صحبت خواهیم کرد
«. واگذار می کنیم
حال به خلاصه اي از مطالب کتاب هاورد ایوز درباره ریاضیات دوره اسلامی می
پردازیم. البته همان طور که توضیح داده شد، این مطالب کاملاْ گزینشی و بسیار
١٩
ناقص است که به در حد توان این نقایص را رفع خواهیم کرد. برتري تمدن اسلامی
بر سایر تمدنها حدودا از سال 700 میلادي آغاز گردید و حدودا تا سال 1500 میلادي
که اسپانیا از تسلط مسلمین خارج شد، ادامه یافت. از همان ابتدا، خلفا به حامیان علم
مبدل شدند و دیگران را تشویق کردند که آثار هندي و یونانی را در نجوم، طب و
ریاضیات به زبان عربی برگردانند. در نتیجه بسیاري از علوم یونانی و هندي بدین
طریق سالم ماند و در قرون وسطی از میان نرفت. به طور خلاصه به شرح بعضی از
کارهاي مسلمین در ریاضیات می پردازیم:
1. ترجمه المجسطی (اثر بطلمیوس) و اصول قلیدس از یونانی به عربی
از همین کتاب اقتباس Algebra 2. تالیف کتاب الجبر و المقابله - که کلمه
لاتینی شده ،« آلگوریتم » شده است- و کتابی درباره ارقام هندي - که بوسیله آن کلمه
این .« محمد بن موسی خوارزمی » به ریاضیات اضافه شد - توسط ،« الخوارزمی » کلمه
دو کتاب تاثیر بسیار زیادي در پیشرفت ریاضیات اروپا داشتند.
در ترجمه بسیار خوب آثار یونانی و نیز کارهاي او در « ثابت بن قُره » 3. کارهاي
جبر مقدماتی، مربعهاي جادویی و یافتن اعداد متحابه که ظاهراْ از اولین کارهاي اصیل
ریاضیات توسط مسلمین است. او قضیه فیثاغورث را به روش زیبایی تعمیم داده است
او جدول بزرگی از سینوس .« ابوالوفاي بوزجانی » 4. معرفی تابع تانژانت به وسیله
و تانژانت زوایا را براي محاسبات مثلثاتی به دست آورد.
که یکی از فاضلانه ترین « کرجی » یا « کرخی » از « فخري » 5. تالیف کتابی به نام
کارهاي مسلمین در جبر است. همچنین کرخی قضایایی ارائه کرد که مجموع مربعات
عدد طبیعی را محاسبه می کرد. n و مکعبات اولین
که یکی از عمیقترین و « عمر خیام » 6. حل هندسی معادله درجه سوم توسط
بدیعترین آثار جبري مسلمین است.
٢٠
مباحث او در .« خواجه نصیرالدین طوسی » 7. تولد هندسه نا اقلیدسی با کارهاي
این زمینه، حدوداْ 450 سال بعد در قرن هفدهم میلادي در دانشگاه آکسفورد براي
تدریس هندسه مورد استفاده قرار گرفت. برهان اصیلی نیز براي قضیه فیثاغورث به
خواجه نصیر منسوب است.(مراجعه کنید به صفحه 232 جلد اول کتاب تاریخ
ریاضیات هاوارد د. ایوز)
که تا 200 سال « غیاث الدین جمشید کاشانی » 8. تقریب عدد پی تا 16 رقم توسط
بعد از او کسی به دقت او در محاسبه عدد پی به روش کلاسیک نرسید. همچنین او
کارهاي جالبی درباره ارتباط بین قضیه دو جمله اي نیوتن و مثلث خیام-پاسکال انجام
داده است.
9. مسلمین کارهاي زیادي براي حل معادلات سیاله انجام دادند. به عنوان مثال
برهانی بر این قضیه ارائه کردند که مجموع مکعبات دو عدد طبیعی برابر مکعب هیچ
است. « آخرین قضیه فرما » عدد طبیعی نمی شود. این قضیه حالت خاصی از
10 . بسیاري از نامها و واژه هاي کنونی را می توان در دوره مسلمین یافت. به طور
به ،« جیب » ترجمه لاتینی کلمه عربی « سینوس » مثال بد نیست بدانید که کلمه
معناي خلیج کوچک است.
خلاصه اي از تاریخچه ریاضی و ریاضیدانان(ریاضیات چین و هند)
4. ریاضیات چین و هند
مختصري از تاریخ ریاضیات چین از حدود 1000 قبل از میلاد تا قرن 14 بعد از میلاد:
- چینیان باستان با حساب دهدهی آشنایی داشتند و از آن در محاسبات علمی و
روزمره استفاده می کردند.
- ابداع مربعهاي جادویی
- آنها با قضیه فیثاغورث -بدون برهان - آشنایی کامل داشتند.
٢١
که قضیه مشهوري در جبر و درباره حل معادلات همنهشتی خطی « قضیه چینی » - آنها
است، به جهانریاضیات تقدیم کردند.
تا 6 رقم اعشار دیده می شود. « عدد پی » - در بعضی از آثار آنها، محاسبه درست
اولین بار به وسیله چینیان ارائه شده ،« خیام-پاسکال » - احتمالاْ مثلث حسابی معروف
است.
مختصري از تاریخ ریاضیات هندي از حدود 450 میلادي تا قرن 14 بعد از میلاد:
- معرفی عمل ضرب به شیوه کنونی
- به دست آوردن مجموع تصاعد هاي حسابی و هندسی
- آشنایی با اعداد منفی و گنگ
- حل کامل معادلات درجه 2
- یافتن همه جوابهاي بعضی از معادلات سیاله
- به دست آوردن فرمول هرون براي محاسبه مساحت مثلث و تعمیم آن به یک چهار
ضلعی محاطی
- ساختن جداولی براي سینوسها
هستند که به « بهاسکره » و « مهاویره » ،« برهمگوپته » - سه ریاضیدان معروف قدیم هند
ترتیب در قرون هفتم، نهم و دوازدهم میلادي می زیستند. ریاضیدان معروف قرون
است که در نظریه اعداد کارهاي بزرگی انجام داد « رامانوجان » جدید هند، نابغه هندي
و حدوداْ 33 سال بیشتر عمر نکرد.
ریاضیات هندي مخلوطی از صدف و خزف یا ممزوجی »: - سخن ابوریحان بیرونی
این جمله به خوبی نشان دهنده تسلط ) « از در پر بها و سنگریزه بی بها است
ریاضیدانان مسلمان است بر ریاضیات زمان خود که می توانستند ریاضیات عالی را از
مقدماتی تمییز و درباره آن اظهار نظر کنند.)
٢٢
خلاصه اي از تاریخچه ریاضی و ریاضیدانان(ریاضیات یونان باستان)
3. ریاضیات یونان باستان
با شروع هزاره اول میلادي و با افول تمدن بزرگ مصر و بابل، کم کم تمدنهاي
جدیدي مانند تمدن یونانی، فنیقی و آسوري پا به عرصه وجود گذاشتند. با تکامل
مانوس تر شد. « چرا » ذهنی بشر، انسان با کلمه
- چرا زوایاي متقابل به راس با هم برابرند؟
- چرا در مثلث متساوي الساقین دو زاویه روبه رو به دو ساق برابرند؟
به این ترتیب، ریاضیات برهانی متولد شد و یونانیان در این امر پیشتاز بوده اند. در این
قسمت به طور بسیار خلاصه، به نام و کارهاي ریاضیدانان یونانی به ترتیب
زمانی خواهیم پرداخت.
1. تالس یکی ریاضیدانانی است که براي اولین بار به وسیله استدلال منطقی و
بدون استفاده از شهود، چند قضیه مهم هندسه را ثابت کرد. (مراجعه کنید به صفحه
65 جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز)
2. فیثاغورس (یا به عبارت درست تر فیثاغورسیان که پیروان و شاگردان او بودند)
نیز سهم بسزایی در تکامل ریاضیات برهانی داشت. خلاصه اي از کارهاي فیثاغورسیان
را مرور می کنیم:
(الف) این گروه اولین قدمها را در رشد نظریه اعداد برداشتند، مانند معرفی اعداد
متحابه، تام، ناقص و زاید (مراجعه کنید به صفحه 70 و 71 جلد اول کتاب تاریخ
ریاضیات هاوارد د. ایوز ) و نیز معرفی اعداد مصور مثلثی، مربعی، مخمسی (مراجعه
کنید به صفحه 72 تا 74 جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز).
٢٣
(ب) اولین برهان منطقی و درست از قضیه فیثاغورس که بابلیان قدیم بدون برهان از
آن استفاده می کردند.
(ج) کشف عدد گنگ که یکی از حوادث مهم تاریخ ریاضیات است.
(د) ابداع جبر هندسی براي بیان اتحادهاي جبري در قالب اصطلاحات هندسی. براي
رسم کنیم.) n+ توضیح بیشتر، اتحاد را رسم کرد. کافیست دایره اي به قطر 1
(و) معرفی بعضی از اجسام پنجگانه افلاطونی یا اجسام منتظم پنجگانه (یک چند
وجهی را منتظم گوییم اگر وجوه آن چند ضلعی هاي منتظم مساوي باشند و کنجهاي
آن نیز همگی برابر. )
(ز) بسط روش اصل موضوعی که اثبات یک ادعاست به وسیله سلسله استنتاجهاي
دقیق از چند فرض آغازین که کاملاْ مشخص هستند.
3. افلاطون و شاگردان او: تقریباْ تمام کارهاي مهم ریاضی قرن چهارم قبل از میلاد
به وسیله شاگردان افلاطون انجام شده است و آنها حلقه ارتباط بین فیثاغورسیان و
ریاضیدانان مکتب اسکندریه بودند. نظر افلاطون درباره ریاضییات این بود که این علم
عالیترین زمینه را براي تعلیم ذهن فراهم می سازد و اداره کنندگان جامعه باید ریاضی
هر کس هندسه » : بدانند. معروف است که افلاطون بر سر در آکادمی خود نوشته بود
«. نمی داند وارد نشود
کارهایی که معاصران افلاطون انجام دادند:
(الف) کشف مقاطع مخروطی (مقاطع مخروطی معمولا شامل دایره، سهمی، هذلولوي
و بیضی میشود.)
(ب) تضعیف مکعب (چگونگی ترسیم ضلعی از یک مکعب -فقط با خط کش و
پرگار- که حجم آن مکعب دو برابر حجم مکعبی مفروض است.)
(ج) تثلیث زاویه (چگونگی تقسیم یک زاویه دلخواه به سه قسمت مساوي-فقط با
خط کش و پرگار)
(د) تربیع دایره (چگونگی ساختن مربعی که داراي مساحتی برابر با مساحت دایره
٢٤
مفروضی باشد -فقط با خط کش و پرگار)
توضیح: توجه کنید که می توان ثابت کرد هیچکدام از کارهاي بالا -یعنی تضعیف
مکعب، تثلیث زاویه و تربیع دایره را نمی توان فقط به وسیله خط کش و پرگار انجام
داد که داستان مفصل و جالبی براي خود دارد. همچنین توجه کنید که تربیع دایره پیوند
نزدیکی با محاسبه عدد پی دارد (در صفحه 116 جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات
هاوارد د. ایوز،می توانید تاریخچه زیبایی از عدد پی را مشاهده فرمایید که شامل 38
مدخل است از کارهاي یونانیان، مسلمین، اروپائیان و ریاضیدانان عصر جدید درباره
این عدد.)
4. اقلیدس: او استاد ریاضییات دانشگاه اسکندریه بود و احتمالاْ در آتن یونان
درس خوانده است. اقلیدس در دوران خود، به فروتنی و توجهش به دیگران معروف
بود. بد نیست بدانیم که اسکندریه در آن زمان در حدود پانصد هزار نفر جمعیت
داشت و دانشگاه آن بسیار بزرگ و مجهز به سالنهاي سخنرانی، آزمایشگاه، خوابگاه و
کتابخانه بود و در این کتابخانه حدوداْ ششصد هزار طومار پاپیروس وجود داشت و
حدود هزار سال پابرجا ماند.
- اقلیدس حدود 10 کتاب تالیف کرده است که مهمترین اثر او کتاب اصول اوست که
شاید یکی از مهمترین کتابهاي تمام تاریخ بشر باشد. لازم است بدانیم که این اثر به
وسیله مسلمین به دست اروپائیان رسید و اروپائیان اصول اقلیدس را از عربی به لاتین
ترجمه کردند.
این کتاب شامل 13 مقاله و حاوي 465 قضیه درباره هندسه مسطحه، هندسه فضایی،
نظریه اعداد و جبر مقدماتی هندسی است.
- قضایاي معروف این کتاب: آلگوریتم اقلیدسی (براي تشخیص متباین بودن دو عدد)،
قضیه اصلی
حساب و اثبات این که تعداد اعداد اول بی نهایت است.
- احتمالاْ این کتاب تدوینی منظم و زیبا از آثار ریاضیدانان قبل از اقلیدس به همراه
کارهاي خود اقلیدس است و شاید قصد او از تالیف این کتاب این بوده است که یک
٢٥
کتاب درسی مقدماتی در ریاضی عمومی بنویسد. البته اقلیدس در ریاضیات عالی نیز
کتابهاي درسی تالیف کرده است.
- به نظر می رسد که مهمترین کار او در این کتاب آن باشد که سعی کرده است
تمام 465 قضیه را
فقط بر اساس 10 اصل موضوع اثبات کند
را بزرگترین « گاوس » و « نیوتن » ،« ارشمیدس » 5. ارشمیدس: اروپائیان معمولاْ
ریاضیدانان همه اعصار می دانند. اگر این مطلب درست هم نباشد، ظاهراْ می توان
گفت ارشمیدس بزرگترین ریاضیدان عهد باستان بود.
- حدوداْ در سال 287 قبل از میلاد متولد شد و به احتمال قوي مقداري از عمر خود
را در دانشگاه اسکندریه گذراند.
- درباره زندگانی ارشمیدس مطالب جالبی نقل شده است: دفاع از سیراکوز (شهر
ارشمیدس)در مقابل سپاه روم و شکست رومیان فقط به وسیله اهرمها و جرثقیلها و
نیز تمرکز ذهنی بسیار قوي بطوریکه هنگام حل مساله از اطراف خود کاملا بی خبر
می شد- و همین بی خبري بالاخره باعث مرگ او شد.
- ارشمیدس سه کتاب درباره هندسه مسطحه، دو کتاب درباره هندسه سه بعدي، دو
مقاله درباره نظریه اعداد، دو رساله (نامه) درباره ریاضیات کاربردي (در واقع فیزیک
دارد که روش او را در کشف بسیاري « روش » ریاضی) و یک رساله (نامه) تحت عنوان
از قضایا شرح می دهد. این رساله در سال 1906 میلادي کشف شد.
- مقاله هاي ارشمیدس شاهکارهایی از بیان ریاضی هستند و تا حد قابل توجهی به
مقاله هاي امروزي شباهت دارند.
- او در بسط اولیه مفاهیم انتگرال براي محاسبه مساحتها و حجمها نقش اساسی دارد.
را کشف کرد. در این روش با ترسیم چند « عدد پی » او روش کلاسیک براي محاسبه
می « عدد پی » ضلعیهاي محاطی و محیطی براي دایره واحد، به تقریب جالبی براي
رسیم.
براي « هرون » - ارشمیدس - به ادعاي ابوریحان بیرونی - کاشف فرمول مشهور
٢٦
مساحت مثلث برحسب سه ضلع آن است.
- او در رساله اي درباره مقدار تقریبی دانه هاي شنی که کره اي به مرکز زمین و به
شعاع زمین تا خورشید را پر نماید، صحبت کرده است.
- در رساله دیگري سعی می کند که یک معادله هشت مجهولی با مقادیر صحیح را که
به وسیله هفت معادله خطی به هم مربوط شده اند، حل کند و یکی از جوابهاي این
رقم!! «206500» معادله عددي است با بیش از
6. آپولونیوس: هندسه دان کبیر باستان و واضع رسمی مقاطع مخروطی که نامهاي
یونانی بیضی، سهمی و هذلولوي به وسیله او به این شکلهاي هندسی داده شده است.
7. دیوفانتوس: این ریاضیدان، داراي نبوغ عجیبی در نظریه جبري اعداد بود و
مسائل ارائه شده توسط او در بسط جبر و نظریه اعداد اهمیت بسیاري دارند.
8. پاپوس: شارح بزرگ آثار هندسه دانان یونانی که ما قسمت عمده دانش خود را
از هندسه یونان باستان، به رساله بزرگ او مدیونیم.
خلاصه اي از تاریخچه ریاضی و ریاضیدانان(ریاضیات بابلی و مصري)
. ریاضیات بابلی و مصري
با پیشرفته تر شدن جامعه بشري، انسان به ریاضیات عملی براي کارهاي کشاورزي،
مهندسی، علوم مالی و بازرگانی، محاسبات مربوط به زمان و تقویم، سنجش اوزان و
مقادیر و ... نیازمند شد. کم کم با تقویت ذهن بشر، انسان به تجرید گرایش پیدا کرد و
ریاضیات را براي ریاضیات مورد مطالعه قرار داد و در نتیجه، تمدنهایی همچون بابل،
مصر، چین و هند ایجاد شد. حال به بررسی مختصر تاریخ ریاضی بابل و مصر باستان
می پردازیم به دودلیل: یکی اینکه این دو از پیشرفته ترین تمدنهاي باستانی هستند و
دیگر اینکه سندهاي معتبري از ریاضیات تمدنهاي مهم دیگر مانند چین و هند باستان
در دست نیست. (البته در قسمتهاي بعدي، مختصرا به این دو تمدن نیز خواهیم
٢٧
پرداخت. )
ریاضیات بابلی:
بررسی لوحهاي پخته، نشان از مهارت بسیار بابلیها در محاسبه دارد. بسیاري از
محاسبات عددي که براي انواع و اقسام قراردادهاي رسمی و غیر رسمی مانند صورت
حساب، رهن، قباله و ضمانت لازم بود، به کمک جداول انجام می شد، مانند جداول
ضرب ، جداول معکوس اعداد،
جداول مربعات و مکعبات و جداول توانها. این محاسبات بر حسب دستگاه موضعی
شصتگانی بوده اند.
احتمالاْ بابلیها با با قواعد کلی محاسبه مساحتهاي اشکال دو بعدي - مانند ·
مستطیل، مثلث و ذوزنقه- و سه بعدي - مانند مکعب مستطیل- و حتی محاسبه
مساحت دایره آشنا بوده اند و عدد پی را سه یا سه و یک هشتم در نظر می گرفته اند.
تقسیم محیط دایره به 360 قسمت را مدیون بابلیها هستیم. ·
آنها احتمالا با قضیه فیثاغورس نیز آشنا بوده اند. در تجزیه و تحلیل لوح معروفی ·
مشخص شده است که آنها با سه تاییهاي فیثاغورسی (Polimpton) به نام پلیمپتن
و جداول مثلثاتی به طور حیرت آوري آشنا بوده اند.
3 و حتی درجه 4 را نیز می دانسته ، ظاهرا روش حل بعضی از معادلات درجه 2 ·
اند.
توجه کنید که ریاضیات ایران باستان را نیز می توان جزئی از ریاضیات بابلی ·
دانست.
ریاضیات مصر باستان:
٢٨
آنگونه که از بررسی پاپیروسهاي به جا مانده از مصریان قدیم می توان گفت این ·
است که سطح ریاضی مصریان قدیم، هرگز به ریاضیات بابلی نرسید. بیشتر مسائل
ریاضی باقیمانده از مصریان باستان، عددي و بسیار ساده هستند. اما از بعضی لحاظ،
ریاضیات مصري را نمی توان نادیده گرفت. به طور مثال، مصریان از اعداد بزرگ مانند
صدهزار و یک میلیون استفاده می کرده اند و دقت محاسبه اي که در ساختن اهرام
مصر به کار رفته، واقعاْ حیرت آور است.
مصریان، ضرب و تقسیم اعداد را به گونه اي جالب انجام می دادند به طویکه ·
نیازي به حفظ کردن جدول ضرب نبود.
مصریان سعی می کردند کسرها را به صورت مجموعی از کسرها با صورت ·
یک بنویسند و به این وسیله مجموع کسرها را راحت تر به دست می آوردند.
احتمالاْ از تصاعدهاي حسابی و هندسی نیز استفاده می کرده اند. ·
در جبر مصري تا حدي نماد گرایی نیز وجود داشت و نمادهایی براي جمع و ·
تفاضل داشتند.
ظاهراْ قاعده محاسبه مساحت مثلث را می دانستند و با بعضی از نسبتهاي ·
مثلثاتی(مانند کتانژانت) آشنا بوده اند.
3 حساب می کردند. / عدد پی را حدوداْ 16 ·
ظاهراْ از قضیه فیثاغورس هیچ اطلاعی نداشتند، اما زاویه قائمه را با ساختن ·
4 و 5 می ساختند. ، مثلثی به اضلاع 3
بعضی از مسائل (همچون محاسبه درست هرم ناقص مربع القاعده) در پاپیروسهاي
مصري موجود است که نظیر آن در هیچ جاي دیگري از شرق باستان، یافت نشده
است
٢٩
یک کاغذ را چند بار میتوان تا کرد
شاید تا کنون با این مسئله روبرو شده باشد که در مواقعی که بیکار هستید یا اینکه
انتظار خبر مهمی را می کشید براي سرگرم کردن خودتان کاغذي را که در اطرافتان
هست بردارید و شروع به تا کردن آن کنید و بعد از چند بار متوجه شوید که دیگر
نمی شود کاغذ را تا کرد. در این صورت یا از تا کردن کاغذ منصرف می شوید یا آن
را باز می کنید و دوباره شروع به تا کردنش می کنید... البته ممکن است قبل از اینکه
به آن زمان برسید خبر مهم به شما داده شود و کاغذ را به جاي اولش برگردانید !!!
این مسئله را همه ما تجربه کرده ایم اما شاید هیچ کدام از ما به طور جدي روي آن
فکر نکرده باشیم .
اگر ورق را هر بار طوري تا کنید که اندازه آن نصف شود بیش از 7 یا 8 بار نمی
توانید آن را تا کنید. مهم نیست ورق اولیه شما چقدر بزرگ باشد. شاید تا به حال این
قضیه را شنیده باشید و سعی کرده باشید که آن را امتحان کنید و متوجه شده باشید که
تا کردن کاغذ بیش از 7 یا 8 بار بسیار سخت است. آیا می توان گفت که این اعداد یک
محدودیت مستدل و عمومی براي تا کردن کاغذ هستند؟
است . t و ضخامت w فرض کنید شما کاغذي را انتخاب کرده اید که داراي پهناي
اگر شما شروع به تا کردن ورق از یک سمت بکنید وقتی به جایی برسید که دیگر
نتوانید کاغذ را تا کنید یک نوار باریک خواهید داشت .
با هر تا کردنی ضخامت کاغذ دو برابر می شود و پهناي آن نصف خواهد شد. یعنی
بار تا کردن ضخامت خواهد بود و البته مشخص است که پهنا می شود و N بعد از
نسبت ضخامت به پهنا برابر می شود .
این کار را انجام دهید بعد از 7 cm و ضخامت 0.002 cm اگر با کاغذي به پهناي 11
٣٠
6 می شود. این بدان معنیست که اندازه ضخامت از / برابر 1 t/w بار تا کردن نسبت
پهنا بیشتر می شود و در نتیجه دیگر قادر به تا کردن کاغذ نخواهید بود. اگر این کاغذ
را 50 بار بزرگتر کنید شاید بتوانید آن را تا 10 بار هم تا کنید .
اگر به صورت متناوب کاغذ را از عرض و طول تا کنید ممکن است تعداد دفعات
بیشتري بتوانید به تا کردن کاغذ ادامه دهید. در این صورت هر بارضخامت دو برابر می
شود در صورتی که پهنا هر دو دفعه یک بار نصف می شود .
چندین سال پیش هنگامی که بریتنی گالیوان در دبیرستان درس می خواند با این مسئله
رو به رو شد که چگونه کاغذي را 12 بار تا کند . او باید براي گرفتن نمره از یکی از
کلاسهایش این مسئله را حل می کرد. بعد از آزمایش راه هاي مختلف او موفق شد که
ورقه نازکی از طلا را 12 بار تا کند. اما مسئله طرح شده در باره کاغذ بود و نه طلا .
گالیوان بر روي معادله تعداد دفعاتی که می توان یک کاغذ با اندازه معین را تا کرد کار
کرد .
تعداد دفعاتی است که n میزان ضخامت کاغذ و t ، کمترین درازاي کاغذ L که در آن
باید یکسان باشد . L و t می توان کاغذ را تا کرد. واحد
بار n براي یک طول و ضخامت معین عبارت بیانگر آن است که صفحه بعد از
شروع می کنیم و به همین ترتیب به n= تاکردن چند برابر کوچک شده است. با 0
رشته اي از اعداد به این صورت می رسیم :
0, 1, 4, 14, 50, 186, 714, 2794, 11050, 43946, 175274, 700074,
2798250, . . .
این به این معنی است که در تاي دوازدهم 2798250 برابر مقدار کاغذي که در تاي
٣١
اول از دست می رود از دست خواهد رفت .
چگونگی Historical Society of Pomona Valley گالیوان در کتابی با نام
به دست آوردن این معادله و تلاشش براي حل مشکل را توضیح داده است .بالاخره
گالیوان یک کاغذ بزرگ را 12 بار تا کرد. June در 2002
جبر یکی از سه شاخه مهم ریاضیات ( جبر - آنالیز - هندسه )
جبر
جبر از شاخه هاي اصلی علم ریاضیات است که تاریخی بیش از 3000 سال دارد .
این علم در طول تاریخ تحولات بسیاري داشته و در حال حاضر شامل شاخه ها ي
زیادي است.
تاریخچه ي این علم به بیش از 3000 سال پیش در مصر و بابل برمی گردد که در آنجا
در مورد حل برخی از معادلات خطی بحث شده است. در هند و یونان باستان نی ز ،
حدود یک قرن پیش از میلاد از روش هاي هندسی براي حل برخی از معادلات جبري
استفاده می گردیده است . در قرن اول میلادي نیز بحث در مورد برخ ی از معادلات
جبري در آثار دیوفانتوس یونانی و برهماگوپتاي هندي دیده می شود .
کتاب جبر و المقابله ي خوارزمی ، اولین اثر کلاسیک در جبر می باشد که که کلمه ي
از آن آمده است. خیام دیگر ریاضی دان شهیر ایرانی است که در Algebra جبر یا
آثار خود جبر را از حساب تمییز داد و گامی بزرگ را در تجرید و پیشرفت این علم
برداشت .
(Scipione del درقرن 16 میلادي ، روش حل معادلات درجه سوم توسط دل فرو
کشف (Ludovico Ferrari ) و معادلات درجه چهارم توسط فرار ي Ferro)
گردید .
ریاضی دان فرانسوي که در 20 سالگی در ، ( Évariste Galois ) اواریست گالوا
جریان انقلاب فرانسه در یک دوئل کشته شد ، بیشترین سهم را در پیشرفت و تجرید
٣٢
این علم داشت که نوشته هاي او ، سال ها پس از مرگش ، پس از مطالعه و بررس ی
توسط دیگر ریاضی دانان موجب تحول عظیم در این علم گردید .
نروژي اولین کسی بود که ثابت کرد ( Niels Henrik Abel ) نیلز هنریک ابل
معادلات درجه 5 به بالا ،بوسیله ي رادیکال ها حل پذیر نیستند .
ریاض ی دان آلما نی که ، ( Carl Friedrich Gauss ) کارل فری دریش گاوس
تاثیرات ژرفی د ر توسعه ي شاخه هاي مختلف برداشته ، سهم زی ادي در پی شرفت
این علم داشت که مهم ترین آن همانا قضیه اساسی جبر می باشد.
پس از کارهاي اویلر ، لاگرانژ ، گاوس ، کوش ی و بس یاري دیگر از بزرگتر ین
ریاضی دانان تاریخ ، علم جبر به قرن بیستم رسید که با شروع این قرن و به دلیل کشف
تناظر هاي شاخه هایی از این علم با شاخه هایی از هندسه ، ای ن علم در شاخه ها ي
مختلف پیش رفت .
از جمله بزرگ ترین پیشرفت هاي جبر و ریاضیات در این قرن ، کلاس بندي گروه هاي
ساده ي متناهی می باشد.
توضیحاتی در مورد ریاضی و مباحث آن
ریاضیات را معمولا دانش بررس ی کمیت ها و ساختار ها و فضا و دگرگو نی (تغیی ر)
تعریف می کنند. دیدگاه دیگري ریاضی را دانشی می داند که در آن با استدلال منطقی از
اصول و تعریف ها به نتا یج دقیق و جدیدي می رسیم (دیدگاه هاي دیگري نیز در فلسفه
ریاضیات بیان شده است.)
ریاضیات خود یکی از علوم طبیعی به شمار نم ی رود، ول ی ساختارها ي وی ژه اي که
ریاضیدانان می پژوهند بیشتر از دانشهاي طبیعی به ویژه فیزیک سرچشمه می گیرند.
٣٣
علوم ط بیعی و مهندسی و اقتصاد و پزشکی بس یار به ر یاض یات تکی ه دارد ول ی گاه
ریاضیدانان به دلایل صرفا ریاضی (و نه کاربردي) به تعریف و بررسی برخی ساختارها
می پردازند.
موضوع هاي اصلی ریاضیات
در ز یر بعض ی از اصل ی ترین شاخه ها و موضوعات ر یاضی به صورت دسته بندي شده
ارائه شده است:
موضوع هاي اصلی ریاضیات
1.1 کمیت o
1.2 ساختار o
1.3 فضا o
1.4 تغییر o
1.5 پایه ها و روش هاي ریاضیات o
1.6 ریاضیات گسسته o
1.7 ریاضیات کاربردي o
1.8 قضیه ها و حدس هاي مشهور o
1.9 تاریخچه و جهان ریاضیات o
1.10 ریاضیات و رشته هاي دیگر o
1.11 ابزارهاي ریاضی o
٣٤
کمیت
عدد- اعداد ط بیعی- اعداد حسا بی- اعداد صح یح- اعداد اول - اعداد مرکب - اعداد
گویا- اعداد گنگ - اعداد حق یقی- اعداد مختلط - اعداد جبر ي-عدد پ ی- عدد اي-
Hypercomplex- چهارگان ها- هشت گان ها- شانزده گان ها - اعداد پ ی- ادی ک
بینهایت- اعداد -Surreal numbers-number Hyperreal-numbers
ترتیبی-اعداد اصلی- ثابت هاي ریاضی
ساختار
جبر مج رد-نظریه اعداد -هندسه جبر ي-نظریه گروه ها -مونوئی دها-آنا لیز ر یاض ی-
توپولوژي-جبر خط ی-نظریه گراف-جبر عمومی-نظریه مقوله ها-نظریه ترتیب-نظری ه
مزور
فضا
توپولوژي، هندسه، مثلثات، هندسه جبر ي، هندسه د یفرانسیل، توپولوژ ي د یفرانس یل،
توپولوژي جبري، جبر خطی، هندسه برخالی، متري
تغییر
حساب-حسابان-حساب بردار ي-آنالیز ر یاض ی-معادلات د یفرانس یل-سی ستم ها ي
دینامیکی-نظریه آشوب-فهرست تابع ها
پایه ها و روش هاي ریاضیات
فلسفه ر یاضیات-شهودگرایی-ساخت گرائی-مبانی ر یاضیات-نظریه مجموعه ها-منطق
نمادي-نظریه مدل-نظریه مقولات-منطق-ریاضیات معکوس-جدول نمادهاي ریاضی
ریاضیات گسسته
٣٥
کشف، قادر به حل مسائلی شد که قبل از آن تسخیر ناپذیر می نمودند. گستردگی
کاربرهاي آن حتی در مکانیک و نجوم، چنان اعجاب آور بود که اکثر ریاضیدانان این
قرن را به خود جذب کرد و باعث تالیف مقالات بسیار شد. متاسفانه دقت کافی نیز در
اثبات قضایا منظور نمی شد و کم کم دومین بحران بزرگ تاریخ ریاضیات شکل
گرفت (اولین بحران، کشف عدد اصم در یونان باستان بود). این بحران، ورود بعضی
از تناقضات عجیب و غریب در ریاضیات بود. مشکلی که بخش بزرگی از فعالیتهاي
ریاضیدانان قرن نوزدهم، معطوف به حل آن شد. قرن هجدهم شاهد رشد بیش از
پیش نظریه احتمال، معادلات دیفرانسیل، هندسه تحلیلی، نظریه اعداد و نظریه
معادلات بود. ضمنا در این قرن معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، هندسه ترکیبی
و هندسه دیفرانسیل نیز پا به عرصه وجود گذاشتند. حال مشابه روشی که در قرن
هفدهم پی گرفتیم به معرفی ریاضیدانان بزرگ این قرن می پردازیم؛ با توجه به این
نکته که مطالب زیر بسیار کوتاه و کاملا گزینشی هستند. ذکر این نکته نیز لازم است
که ب راي فهم بعضی از مطالب زیر به معلومات دانشگاهی نیازمندیم.
III یوهان ،II یوهان
از سال 1654 تا 1863 (حدود 210 سال) پی گرفت. به جهت اختصار فقط به کارهاي
دو برادر اول می پردازیم.
1. خانواده برنولی:
این خانواده سوئیسی، یکی از متشخص ترین خانواده ها در
تاریخ ریاضیات بود. سابقه خانوادگی آنها با دوبرادر، یاکوب برنولی و یوهان برنولی
و نیز پسر
II آغاز می شود و با پسران یوهان به نامهاي نیکولاس، دانیل و یوهان
و نوادگان دیگر ادامه می یابد. سابقه خانوادگی آنها را می توان
- یاکوب برنولی: او کاربردهاي مهمی از مختصات قطبی را ارائه نمود، فرمول شعاع
انحناي یک منحنی در مختصات دکارتی و قطبی را استخراج کرد، منحنی همزمان را
کشف کرد (این منحنی یک سهمی از درجه سه دوم است که مماس در نقطه بازگشت
آن قائم است و هر جسم در امتداد آن با سرعت عمودي یکنواختی سقوط میکند)،
مساله شکلهاي هم پیرامون را طرح نمود
(مسیرهاي مسطح بسته اي از انواع مفروض که محیط آنها ثابت و مساحت آنها
ماکزیمم است) و کتاب معروف فن حدس زدن را در موضوع احتمال ریاضی تالیف
کرد. نام او در ریاضیات با توزیع برنولی و قضیه برنولی در آمار و احتمال، معادله
برنولی در معادلات دیفرانسیل، اعداد و چند جمله ایهاي برنولی در نظریه اعداد و
لمینسکات برنولی در حساب دیفرانسیل و انتگرال همراه است. جالب است که بدانیم
که کلمه انتگرال را نیز براي اولین بار، یاکوب برنولی به کار برد.
- یوهان برنولی: او به حسابان غناي زیادي بخشید و در شناساندن قدرت آن در اروپا
بسیار موثر بود. مقالات متعدد یوهان برنولی را مارکی دو لوپیتال در قالب اولین کتاب
درسی حسابان گردآوري و منتشر کرد (بد نیست بدانیم که بعدها قاعده صورت مبهم
صفر تقسیم بر صفر به غلط قاعده هوپیتال نام گرفت). محاسبه طول قوس منحنی ها،
حسابان توابع توانی و تلاش براي حل دو مساله مهم کوتاهترین زمان و همزمانی که به
دست آوردن منحنی هایی با شرایط خاص است، فهرستی از کارهاي مهم اوست. ضمنا
او یکی از موفقترین معلمین زمان خود بود.
2. دموآور: آبراهام دموآور یکی از دوستان صمیمی نیوتن بود و با تالیف سه
کتاب، نقش مهمی در نظریه آمار و احتمال دارد. بررسی انتگرال احتمالاتی معروف
ثابت اند و فرمول استرلینگ h و c براي اولین بار، بررسی منحنی فراوانی نرمال که
(که به غلط چنین نامگذاري شده است) و فرمول مشهور که ، همگی منسوب به
اوست.
٣
3. مک لورن: دانشجویان رشته هاي علوم پایه و مهندسی با دو بسط معروف و
بسیار مهم تیلور و مک لورن آشنایی دارند. بسط اول در 1715 و بسط دوم در 1742
معرفی شد. بسط مک لورن چیزي جز تعمیم بسط تیلور نیست و خود تیلور از بسط
مک لورن خبر داشت و قبلا آنرا معرفی کرده بود. مک لورن از نوادر عالم ریاضیات
بود. در 11 سالگی وارد دانشگاه شد. در 15 سالگی فوق لیسانس گرفت و در 19
سالگی به استادي دانشگاه انتخاب شد. در 21 سالگی کتاب مهم خود - هندسه ذاتی-
را منتشر کرد و در 27 سالگی استادیار دانشگاه بود. جالب است بدانیم که نیوتن براي
اینکه مشکل پرداخت حقوق او حل شود و او در دانشگاه بماند، مخارج او را شخصا
پرداخت می کرد تا دانشگاه از خدمات این نابغه قرن هجدهم بی بهره نماند. مک لورن
بعدها جانشین نیوتن شد.
4. اویلر: لئونهارت اویلر پرتالیف ترین نویسنده در تاریخ ریاضیات است و نام
وي در هر شاخه اي از این علم دیده می شود. او در طول عمرش 530 کتاب و مقاله
منتشر کرد. حتی نابینایی کامل او که در 17 سال آخر عمر، سراغش آمد، اثري در
شدت کار او نگذاشت و به کمک حافظه شگفت انگیز و توانایی تمرکز حواس حتی با
وجود سرو صداي زیاد، کار خود را با دیکته کردن به یک منشی و نوشتن فرمولها
روي یک تخته بزرگ، ادامه می داد. او شاگرد یوهان برنولی بود و 31 سال در آکادمی
سن پترزبورگ و 25 سال در آکادمی پروس به کارهاي علمی اشتغال داشت. او خارج
از ریاضیات، در فیزیک، نجوم، پزشکی، گیاهشناسی، شیمی، الاهیات و زبانهاي شرقی
استادي برجسته بود و از تاریخ مدنی و ادبی کلیه اعصار و بسیاري از ملل با اطلاع بود
و جالب است بدانیم که با این همه کار و مشغله علمی، 13 فرزند داشت!! فیزیکدانی
او را چنین معرفی می کند: اویلر را می توان بدون هیچ اغراقی، تجسم آنالیز دانست. او
بی هیچ تلاشی، محاسبات خود را انجام می داد درست به گونه اي که انسان نفس می
کشد و عقاب خود را در هوا نگاه می دارد. به خلاصه اي از کارهاي اویلر می پردازیم:
به R و r ، براي پایه لگاریتم طبیعی e ، - رسمیت یافتن نمادهاي براي نماد تابع
براي i ترتیب براي شعاع دایره محاطی و محیطی مثلث، براي علامت مجموعیابی و
٤
واحد انگاري را به او مدیونیم.
- فرمول بسیار مهم نیز از کارهاي اوست.
- در هندسه به خط اویلر مثلث برمی خوریم، در نظریه معادلات دانشجو روش اویلر
را براي حل معادلات درجه چهارم فرا می گیرد و در نظریه اعداد، تابع فی اویلر نقشی
مهم دارد. تابع گاما و بتا نیز منسوب به اویلر هستند. در معادلات دیفرانسیل، معادله
معروفی به نام معادله دیفرانسیل اویلر و نیز در معادلات دیفرانسیل جزئی، قضیه اویلر
درباره توابع همگن وجود دارد.
- او از اولین کسانی است که کسرهاي مسلسل را ایجاد کرد و به طور قابل توجهی
نظریه اعداد را غنا بخشید.
« مربعهاي لاتین » و « بازي شطرنج » - او مقالات زیادي پیرامون تفریحات ریاضی مانند
دارد.
- او در ریاضیات کاربردي مانند نظریه حرکت ماه، کشتی سازي و نظریه موسیقی نیز
کار کرده است.
- او کتابهاي درسی نیز تالیف می کرد، آنهم با نهایت وضوح، به تفضیل و کامل.
کتابهاي امروزي دانشگاهی، تقلیدي از سبک نوشتاري اویلر هستند.
5. کلرو: او از اعجوبه هاي ریاضی بود. در سن 11 سالگی مقاله اي درباره منحنی
هاي درجه سوم و بعد از آن مقاله دیگري درباره هندیه دیفرانسیل نوشت و در 18
سالگی یکی از اعضاي آکادمی علوم فرانسه شد. در 23 سالگی به همراه هیأتی علمی
مشغول اندازه گیري طول یک درجه از یک نصف النهار زمین شد. درباره نظریه شکل
زمین، نظریه ماه و بازگشت ستاره دنباله دار هالی کارهاي زیبایی انجام داد. در معادله
دیفرانسیل،معادله اي به نام معادله کلرو وجود دارد. پدر و برادر او نیز ریاضیدان بودند.
6. دالامبر: او یکی از پیشگامان حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی است.
او در ریاضیات کاربردي و مبانی آنالیز ریاضی کارهاي ارزشمندي دارد. دالامبر اعتقاد
داشت که براي قرار دادن آنالیز بر یک شالوده محکم، به نظریه معتبري از حد توابع
٥
نیاز است ولی معاصرین او اعتنایی به این مطلب نکردند. او براي اثبات قضیه اساسی
جبر - که هر چند جمله اي با ضرایب مختلط حداقل یک ریشه مختلط دارد - تلاش
بسیار کرد به گونه اي که هم اکنون این قضیه در فرانسه به قضیه دالامبر معروف است.
مطالب جالبی از دالامبر درباره ریاضیات نقل شده است. یکی از گفته هاي او را نقل
تردید ندارم که اگر انسانها جدا از هم » : می کنیم بدون اینکه درباره آن اظهار نظر کنیم
زندگی می کردند و در وضعیتی بودند که به چیز دیگري جز حفظ بقاي خود نمی
پرداختند، مطالعه علوم دقیقه را بر پروردن هنرهاي دلپذیر ترجیح می دادند، زیرا به
خاطر دیگران است که انسان در هنر به کمال می رسد ولی انسان به خاطر خویشتن،
خود را وقف علوم دقیقه می کند. بنابر این به نظر من، در جزیره اي متروك یک شاعر
به ندرت می تواند خود را مفید بداند، در حالی که یک ریاضیدان می تواند هنوز هم از
« . غرور اکتشاف سرشار باشد
7. لامبرت: یوهان هاینریش لامبرت، ریاضیدانی با کیفیت عالی بود و قوه تخیل
بسیار قوي داشت. پسر خیاط فقیري بود و عمدتاً پیش خود درس خوانده بود. او
x اولین کسی بود که اصم بودن عدد پی را به طور دقیق ثابت کرد. او نشان داد که اگر
اصم است. حال چون ، پس عدد پی اصم tan x گویاي ناصفر باشد آنگاه
است. بسط منظم نظریه توابع هذلولوي و نمادهاي امروزي این توابع را مدیون او
هستیم. او در منطق ریاضی و نیز هندسه نااقلیدسی نیز کار کرده است.
8. لاگرانژ: احتمالا می توان لاگرانژ را اولین آنالیزدان واقعی دانست. بعضی از
ریاضیدانان، لاگرانژ را حتی از اویلر نیز بزرگتر می دانند. نوشته هاي لاگرانژ کوتاهتر
اما بسیار دقیقتر از نوشته هاي اویلر است. ظاهراً شعور ریاضی او نیز از اویلر قویتر
بود. براي مقایسه این دو بد نیست بدانیم که می توان ریاضیدانان بزرگ را به دو دسته
عملگران رسمی خبره و نظریه پردازان خبره تقسیم کرد که عده کمی نیز در هر دو
دسته قرار دارند. با این دسته بندي اویلر در دسته اول، لاگرانژ در دسته دوم و گاوس
دانشمندي سر آمد در هر دو دسته بود. عبارت معروف و جالبی از لاگرانژ نقل شده
٦
یک ریاضیدان به فهم کامل هر بخش از کار خود » : است که به ذکر آن می پردازیم
دست می یابد مادام که چنان وضوحی به آن بخشیده باشد که بتواند آن را به نحو
مطالب دیگر «. قاطعی به اولین شخصی که در معبر به او برمی خورد، توضیح دهد
پیرامون اعتقادات لاگرانژ را در قسمت مربوط به لاپلاس خواهیم آورد. جالب است
لاگرانژ برج رفیع » : بدانید ناپلئون بناپارت درباره لاگرانژ چنین اظهار نظر کرده است
حال به کارهاي مهم او در ریاضیات می پردازیم: «. علوم ریاضی است
به لاگرانژ منسوب است. ،f - نمادهاي براي مشتق اول، دوم و ... تابع
- او بنیانگذار اولین نظریه توابع با یک متغیر حقیقی است.
که در آن روشی « در حل معادلات عددي از کلیه درجات » - لاگرانژ کتابی دارد به نام
براي تقریب ریشه هاي حقیقی یک معادله به کمک کسرهاي مسلسل ارائه می دهد.
- سهم او در پیشرفت معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی بسیار قابل توجه است.
- او میل وافري به نظریه اعداد داشت و رساله هاي مهمی در زمینه نگاشت. او این
قضیه مهم را که به نام خود او ثبت شد، اثبات کرد: هر عدد صحیح مثبت را می توان
به صورت مجموع حداکثر 4 مربع نوشت.
- بعضی از کارهاي او در نظریه معادلات بعدها رهنمون گالوا در نظریه گروهها شد و
قضیه مهمی به نام قضیه لاگرانژ در این نظریه وجود دارد.
9. لاپلاس: لاپلاس را نیوتن فرانسه می خواندند زیرا او کتابی پنج جلدي پیرامون
مکانیک سماوي تالیف کرد که همه کشفیات قبلی در این زمینه، همراه با سهم خود او
را در بر می گرفت و مولف را به عنوان استادي بی رقیب در این موضوع متشخص
کرد. او در احتمالات، معادلات دیفرانسیل و ژئودزي نیز کارهاي برجسته اي انجام داده
است. هم عصر لاگرانژ بود اما از بسیاري لحاظ با او تفاوت داشت. به طور مثال
کار لاگرانژ هم در صورت و هم در معنی » . تفاوت بارزي در سبک آنها وجود دارد
کمال دارد و فهم استدلالهاي او آسان است؛ اما لاپلاس هیچ چیز را توضیح نمی دهد،
به سبک اعتنا نمی کند و اگر قانع شود که نتایجش درست هستند، برهانی براي آن
یکی از منجمین متذکر شده است که «. ارائه نمی کند یا برهان غلطی ارائه می کند
٧
لاپلاس بربخورم بی آنکه مجبور « بنابر این آشکار است » هرگز نشد به یکی از عبارات
باشم ساعتها براي پر کردن این شکاف کار کنم تا آن را بفهمم و نشان دهم که این
مطلب چگونه به سادگی آشکار است!! در نظر لاپلاس ریاضیات کوله اي از ابزار است
که براي توضیح طبیعت به کار می رود؛ اما در نظر لاگرانژ، ریاضیات هنري والاست و
دلیل وجودي آن، خود آن است. البته لازم است بدانیم که لاپلاس براي مبتدیان در
تحقیقات ریاضی بسیار سخی بود و در موارد متعددي از انتشار کشف خود، اجتناب
می کرد تا به یک مبتدي اجازه دهد که زودتر از او فرصت انتشار آن را داشته
باشد. لاپلاس دقیقاً صد سال بعد از درگذشت نیوتن از دنیا رفت و بنابر روایتی آخرین
کلمات او چنین بود: آنچه می دانیم بسیار کم و آنچه نمی دانیم به غایت زیاد است.
10 . لژاندر: کار عمده لژاندر حول نظریه اعداد، توابع بیضوي، روش کمترین
« اصول هندسه » مربعات و انتگرالها متمرکز بود. شهرت او عمدتاً به خطر کتاب
اوست که در آن قضایاي هندسه اقلیدس مجدداً تنظیم و ساده شده است. بعدها
این تالیف به صورت نمونه کتاب درسی در آمریکا درآمد و ترجمه انگلیسی آن 33
مرتبه تجدید چاپ شد. نام لژاندر امروزه با یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم و جواب
این معادله یعنی توابع لژاندر و چندجمله ایهاي لژاندر و نیز در نظریه اعداد با نماد
معروف لژاندر پیوند خورده است. او یک کتاب 859 صفحه اي در دو جلد در نظریه
اعداد دارد که اولین کتابی است که منحصراً به نظریه اعداد اختصاص دارد. او همچنین
نوشت که به علت جامعیت و قابل درك « تمرینهاي حساب انتگرال » کتابی به نام
بودن با اثر مشابه اویلر برابري می کند. او به خاطر مثلث بندي کشور فرانسه به شهرت
قابل توجهی دست یافت.
11 . مونژ: گاسپار مونژ در 16 سالگی معلم فیزیک مدرسه اي شد که خود در آن
درس خوانده بود. او با ابداع هندسه ترسیمی - که نمایش اشیاء سه بعدي به کمک
تصاویر دو بعدي است - معروف شد. او در دانشگاه فیزیک نیز تدریس می کرد و
معلمی با استعداد استثنایی بود. مونژ را پدر هندسه دیفرانسیل می دانند. اثر او تحت
٨
پنج بار چاپ شد و یکی از مهمترین مباحث اولیه « کاربرد آنالیز در هندسه » عنوان
هندسه دیفرانسیل رویه ها بود. او در این اثر، مفهوم خطوط انحناي یک رویه در
فضاي سه بعدي را معرفی کرد. همچنین مطالبی که هم اکنون در هندسه تحلیلی
فضایی مانند بررسی خطها و صفحات در فضا، فرمولهاي انتقال و دوران محورها،
فاصله یک نقطه از یک خط در فضا و کوتاهترین فاصله بین دو خط متنافر بررسی می
شود از کارهاي مونژ است. جالب است بدانید که او دوست نزدیک ناپلئون و به شدت
و در همه حال به او وفادار بود چه زمانی که ناپلئون بناپارت سرجوخه اي آرمانگرا و
انقلابی بود و چه زمانی که امپراطوري خود خواه و مستبدي شد. مونژ مدتی به عنوان
وزیر نیروي دریایی وارد خدمت شد و به ساختن اسلحه و باروت براي ارتش
پرداخت. او دو برادر داشت که آنها نیز استاد ریاضیات بودند.
12 . کارنو: او یکی از دانشجویان مونژ بود و او نیز شغل نظامی داشت. همانند
استادش هندسه دان بود و براي اولین بار کمیتهاي جهت دار را در هندسه ترکیبی به
کار گرفت. یکی از کارهاي کارنو پیدا کردن حجم یک چهار وجهی بر حسب شش
یال آن بود. در ضمن فرمولی شامل 130 جمله به دست آورد که هر یک از 10 پاره
خط واصل بین دو نقطه از 5 نقطه تصادفی در فضا را بر حسب 9 پاره خط دیگر بیان
که بعدها فیزیکدان برجسته اي شد. او به « سعدي » می کند. کارنو پسري داشت به نام
دلیل علاقه اي که به سعدي شیرازي داشت پسر خود را چنین نامگذاري کرد. نوه اي
هم به نام سعدي داشت که رئیس جمهور فرانسه شد. کارنو بر خلاف مونژ بر علیه
ناپلئون راي داد و راهی تبعیدگاه شد.
13 . سوفی ژرمن: این قرن شاهد ورود جدي زنان به پهنه هاي ریاضیات بود. سوفی
یکی از معروفترین - « اکول پلی تکنیک » ژرمن به علت زن بودن از ثبت نام در
دانشگاهاي فرانسه- منع شد؛ اما یادداشتهاي اساتید زیادي از آنجا را تهیه می کرد و
حتی با اسمی مستعار مقالاتی نوشت که تحسین لاگرانژ را برانگیخت. او حتی بعدها
مورد تعریف و تمجید گاوس نیز قرار گرفت. در سال 1816 آکادمی فرانسه به خاطر
٩
مقاله اي در نظریه ریاضی کشسانی، جایزه اي به وي اعطا کرد. او مفهوم انحناي
میانگین را به هندسه دیفرانسیل رویه ها معرفی کرد.
خلاصه اي از تاریخچه ریاضی و ریاضیدانان(ریاضیات در قرن 17 میلادي)
7. ریاضیات در قرن 17 میلادي
این قرن یکی از مهمترین قرنها در تاریخ ریاضیات است زیرا اساساْ دامنه تحقیقات
گسترده در ریاضی، در همین قرن بر بشر گشوده شد، شاید به دلیل آزادیهاي فکري
بیشتر، پیشرفتهاي سیاسی، اقتصادي و اجتماعی و در نتیجه رفاه بیشتر زندگی-به ویژه
در مقابل سرما و تاریکی شمال اروپا.
پیشرفت علم ریاضی در این قرن آنقدر وسیع و گوناگون است که حتی نوشتن خلاصه
اي از آن نیز مثنوي هفتاد من کاغذ خواهد شد. به ناچار باید به گزینش بعضی از
کارهاي اصیلتر و مهم تر در تاریخ ریاضی این قرن تن داد. از مهمترین اکتشافات - و
شاید هم اختراعات - ریاضی در این قرن می توان به مطالب زیر اشاره کرد:
الف) کشف لگاریتم
ب) تدوین علامات و نمادگذاریهاي کنونی جبري
ج) گشوده شدن پهنه جدیدي در هندسه محض به ویژه هندسه تصویري
د) آغاز اتصال جبر و هندسه با کشف هندسه تحلیلی
ه) پیشرفتی شگرف در نظریه اعداد و نیز تولد نظریه احتمال
و) کشف یکی از بزرگترین دستاوردهاي بشر یعنی حساب دیفرانسیل و انتگرال
شاید بهترین راه براي بررسی تاریخ ریاضی این قرن، شرح مختصري از زندگانی
١٠
ریاضیدانان برجسته قرن هفدهم باشد.
ریاضیدانان برجسته قرن هفدهم:
1. نپر: چهار اختراع، بشر را در فن محاسبه چیره دست کرد: نماد گذاري هندي-
سومین « جان نپر » . عربی، چگونگی محاسبه مربوط به کسرها، لگاریتم و رایانه ها
اختراع را به نام خود ثبت کرد. او به طرز عجیبی، هم سیاسی و هم مذهبی بود و نبوغ
او در پیشگویی وسایل جنگی چهار قرن بعد از خود اعجاب آور است. تعریف
لگاریتم به وسیله نپر، بیشتر فیزیکی است تا ریاضی. بد نیست بدانیم که پایه لگاریتم
است که البته خود او چیزي e نیست بلکه معکوس e نپر بر خلاف تصور عموم، عدد
در این زمینه نمی دانست. تذکر این نکته لازم است که در تکمیل مفهوم لگاریتم و
که یکی از دوستان نپر بود، سهم بسزایی دارد و « هنري بریگز » ، جداول مربوط به آن
می نامند. لگاریتم به معناي « لگاریتم بریگزي » لگاریتم معمولی در پایه 10 را معمولاْ
است که البته این مفهوم، همان طور که ذکر شد بر اساس تابع توانی -که « عدد نسبت »
هم اکنون تدریس می شود- به وجود نیامد و یکی از امور خلاف قاعده در تاریخ
ریاضیات، کشف لگاریتم، پیش از به کار بردن نماهاست. البته سه اختراع مهم دیگر نیز
در تاریخ ریاضی، به نام جان نپر به ثبت رسیده است.
2. پاسکال: این نابغه فرانسوي، یکی از بنیانگذاران هندسه محض و پیشرفته و نیز
نظریه احتمال است. خواص اصلی اشکال معروف هندسی را در کودکی، بدون معلم و
فقط با تلاشهاي خودش به دست آورد. در شانزده سالگی مقاله اي درباره مقاطع
مخروطی نوشت و در هجده یا نوزده سالگی، اولین ماشین حساب مکانیکی را اختراع
کرد. اما متاسفانه در طول 39 سال زندگی، به دلیل افراط و تفریطهاي مذهبی، جسم
ضعیف خود را بارها و بارها آزرد و چندین بار از ریاضیات دست کشید و دوباره به
در تاریخ «!! چه ها که می شد » آن بازگشت. پاسکال را به عنوان یکی از بزرگترین
ریاضیات شمرده اند. بعضی از کارهاي او عبارتند از:
- تالیف مقاله مهمی درباره خواص اصلی مثلث خیام-پاسکال که در آن به طور جالبی
١١
از قدیمی
ترین احکام قابل قبول استقراي ریاضی استفاده شده است.
که درباره یک 6 ضلعی محاط در « هگزاگرام رمزي » - کشف و اثبات قضیه مشهور
یک مقطع مخروطی است.
ریاضیدان بزرگ فرانسوي). این علم به ) « فرما » - پی ریزي علم احتمال به همراه
در یک بازي « مساله امتیازها » وسیله مکاتباتی بین پاسکال و فرما در تلاش براي حل
شانسی به وجود آمد.
- اثري درباره منحنی سیکلوئید. این منحنی توسط نقطه اي واقع بر محیط یک دایره،
هنگامی که دایره در امتداد خط مستقیمی بدون اصطکاك می غلطد، رسم می شود. این
منحنی دههاخواص جالب و بسیار زیبا دارد و اختلافات بسیاري بین ریاضیدانان ایجاد
گفتند (این نام بر اساس یک افسانه یونانی انتخاب « سیب نفاق » کرد به طوري که به آن
شده است، جالب است که از دوران این منحنی حول محور طولها، چیزي شبیه به
سیب ایجاد می شود.
3. دکارت: دکارت را معمولاْ مبدع هندسه تحلیلی می دانند که از روشهاي
جبري براي حل مسائل هندسی استفاده می کرد. این کار کمک بسیاري در ساده سازي
مفاهیم هندسی و حل مطالب غامض و پیچیده آن کرد. او همچنین به حل معادلات
براي « قاعده علامات دکارت » با درجات بالاتر از 2 پرداخت و قاعده زیبایی را به نام
تعیین تعداد ریشه هاي مثبت و منفی یک چند جمله اي به دست آورد
. او براي اولین بار از روش ضرایب نامعین استفاده کرد که همان متحد قرار دادن دو
چند جمله اي هم درجه براي به دست آوردن ضرایب نامعین است. البته دکارت در
جهان بیرون از ریاضیات، فیلسوف بسیار مشهوري است و مطالب بسیاري را به جهان
فلسفه تقدیم کرده است که البته بعضی از آنها کاملاْ نادرست هستند. در ضمن
داستانهاي جالبی درباره چگونگی کشف هندسه تحلیلی به او نسبت می دهند که
ارزش آموزشی زیادي دارد
١٢
4. فرما: معمولاْ فرما را بزرگترین ریاضیدان قرن هفدهم فرانسه می دانند. او
حقوقدان بود و شغل رسمیش وکالت بود، اما قسمت مهمی از ساعات فراغت خود را
وقف ریاضیات می کرد. او در بسیاري از شاخه هاي ریاضیات کارهاي مهم و اساسی
انجام داده است که مهمترین این کارها عبارتند از:
- تحقیقات اساسی پیرامون هندسه تحلیلی. فرما را باید در کنار دکارت یکی از
موسسان هندسه تحلیلی نامید. معمولاْ گفته می شود که کارهاي فرما عکس کارهاي
دکارت بوده است. دکارت از مکان هندسی شروع می کرد و به معادله آن می رسید، اما
فرما از معادله شروع و سپس مکان هندسی آن را مطالعه می کرده است.
- تاسیس نظریه نوین اعداد. فرما شهود و توانایی خارق العاده اي در نظریه اعداد
داشت. قضایاي بسیاري را در این زمینه با اثبات یا بدون اثبات بیان کرد که بعدها
درست بودن اغلب قضایاي ثابت نشده او به ثبوت رسیدحدس مشهور او به نام
در آخرین دهه قرن بیستم به اثبات رسید! « حدس آخر فرما »
- فرما به همراه پاسکال اساس علم احتمال را پی ریزي کرد.
- فرما در حساب دیفرانسیل نیز کارهاي اساسی کرد. او ظاهراْ اولین کسی بود که از
نقاط ماکزیمم و می نیمم یک تابع را به دست آوردهمچنین f'(x)= طریق معادله 0
او یک روش کلی براي یافتن مماس بر نقطه اي از یک منحنی که مختصات دکارتی آن
معلوم باشد، ابداع کرد ریاضیدانان معروف قرن 17 که قبل و یا همزمان با نیوتن می
زیستند و در شکل گیري و پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال نقش بسزایی داشتند:
1) سیمون استوین ( 2) لوکا والریو (این دو همان روشی را به کار بردند که ما براي )
پیدا کردن حجم یک جسم در حساب انتگرال به کار می بریم.) ( 3) کاوالیري ( 4) فرما
5) جان والیس (نماد معروف بی نهایت را نیز به او مدیونیم.) ( 6) آیزاك برو (که )
احتمالاْ قضیه اساسی حسابان را اولین بار او ثابت کرد.)
6. نیوتن: صحبت کردن پیرامون نیوتن و کارهاي او ساده نیست. ریاضیدان و
فیزیکدانی که به گفته لاگرانژ بزرگترین نابغه اي است که در جهان زیسته است.
رقیب سرسخت او در ستایشی بزرگ منشانه، نیمی از کارهاي انجام « لایبنیتز » همچنین
١٣
شده ریاضی بشر تا عهد نیوتن را متعلق به نیوتن می داند. انسانی که در 23 سالگی به
درجه اي رسید که می توانست مماس و شعاع انحنا در یک نقطه از منحنی را پیدا کند.
روشی که امروزه تحت عنوان حساب دیفرانسیل شناخته می شود. در 27 سالگی به
استادي دانشگاه برگزیده شد و حدود 65 سال در ریاضیات و فیزیک کار کرد. پاپ
طبیعت و قوانین طبیعت در » : دستاوردهاي نیوتن را بدین صورت بیان کرده است
البته «. ظلمت نهفته بودند، ذات باري فرمود نیوتن به وجود آید و همه چیز روشن شد
نیوتن نیز خاضعانه در مقابل ستایشها می گفت که من همچون کودکی در حال بازي
در کنار دریا هستم که گاهی صدفهاي زیبایی توجهم را جلب می کند اما اقیانوسی از
حقایق کشف ناشده در مقابلم قرار دارد. یکبار هم گفت که اگر افق دید او گسترده تر
از دیگران است بدین علت است که بر دوش غولان ایستاده است و شاید منظور او از
غولان، ارشمیدس و امثال او باشند. کارهاي ریاضی او به طور خلاصه به شرح زیر
است:
ستاره شناس معروف « هالی » که با اصرار « اصول ریاضی فلسفه طبیعی » - تالیف کتاب
و با هزینه او در سال 1687 چاپ شد. این کتاب به مطالعه دستگاه دینامیکی پدیده
هاي زمینی و سماوي می پردازد و یک صورت بندي ریاضی از این پدیده هاست. این
کتاب پرنفوذ ترین اثر در تاریخ علم به حساب می آید و تاثیر بسیاري بر دنیاي جدید
داشت. تاریخ ریاضیات ابتدایی اساساْ با آن پایان می یابد.
- بسط روش بی نهایت کوچکها یا همان حساب دیفرانسیل و نیز روشهاي مربوط به
سریهاي نامتناهی
- بسط روشهاي مربوط به ماکزیمم و می نیمم توابع، مماس بر منحنی ها، انحناي
منحنی ها، نقاط عطف، تحدب و تقعر منحنی ها، محاسبه مساحتهاي زیر منحنی ها و
طول قوس آنها
- ارائه روشی براي تقریب زدن مقادیر ریشه هاي حقیقی یک معادله جبري یا غیر
جبري و نیز روشهاي زیبایی براي مطالعه منحنی هاي درجه سوم
١٤
7. لایبنیتز: این نابغه جامع ریاضیات، فلسفه، الاهیات و حقوق، رقیب جدي نیوتن
در ابداع حسابان بود. عقیده رایج امروز این است که نیوتن و لایبنیتز، حسابان را
مستقل از یکدیگر کشف کردند، اما لایبنیتز نتایج را زودتر انتشار داد، هر چند که
کشف نیوتن زودتر انجام شده است، اما متاسفانه مشاجره اسفباري بین این دو بر سر
تقدم در کشف حسابان در گرفت و هر کدام خود را موسس حساب دیفرانسیل و
انتگرال می دانست. هر دو نیز در این مناقشه زیان دیدند، به ویژه نیوتن و ریاضیدانان
همعصر او در انگلستان. البته لازم است ذکر شود که لایبنیتز را بزرگترین نابغه جامع
قرن هفدهم می نامند و ظاهراْ تنها شخص شناخته شده تاریخ ریاضیات است که هم
در ریاضیات پیوسته و هم در ریاضیات گسسته داراي اندیشه اي عالی بوده است. بد
نیست بدانیم که لایبنیتز در واقع یک سیاستمدار و یک دیپلمات بود که براي انجام
کارهاي سیاسی به کشورهاي دیگر سفر می کرد. کارهاي او در ریاضیات به طور
خلاصه عبارتند از:
- ارائه قسمت مهمی از نمادهاي کنونی ما در حساب دیفرانسیل و انتگرال از قبیل نماد
یک کلمه لاتین به - Summa کشیده S و علامت انتگرال که از dy/dx و dx
معناي مجموع- اقتباس شده است. هم اکنون از نمادهاي نیوتن آنچنان استفاده نمی
شود.
- استخراج بسیاري از قواعد مقدماتی مشتق گیري که معمولاْ در ابتداي درس
مشتق در سطوح مختلف دبیرستانی و دانشگاهی آموزش داده میشود. قاعده یافتن
ام حاصلضرب دو تابع را قاعده لایبنیتز می نامیم -n مشتق
- تلاش براي پایه گذاري نظریه پوشها و تعریف دایره بوسان براي اولین بار
- ارائه اولین ایده ها در منطق ریاضی و نظریه مجموعه ها. او مجموعه تهی و احتواي
مجموعه ها را نیز مطالعه کرده است و متوجه شباهتهاي نظریه مجموعه ها و منطق
ریاضی شده است (به طور مثال شباهت قوانین دمرگان در نظریه مجموعه ها و منطق).
- لایبنیتز احتمالا جزو اولین ریاضیدانانی است که نظریه قدرتمند دترمینانها را براي
حل دستگاه معادلات خطی پدید آورده اند.
١٥
خلاصه اي از تاریخچه ریاضی و ریاضیدانان(ریاضیات اروپایی- قرون ششم تا
آخر قرن شانزدهم)
6. ریاضیات اروپایی- قرون ششم تا آخر قرن شانزدهم
(الف) قرن ششم تا قرن یازدهم:
در طول پانصد سال که به عصر تاریکی اروپا شهرت دارد و با سقوط امپراطوري رم
در اواسط قرن پنجم شروع شد و تا قرن یازدهم ادامه یافت، تقریباْ کار خاصی در علم
به طور عام و در ریاضیات به طور خاص انجام نشد. از ریاضیدانان این دوران، معمولاْ
از چهار نفر نام می برند که عبارتند از: بوئتیوس، بید، آلکوین و پاپ سیلوستر دوم نام
می برند. این چهار نفر با تالیف کتب ریاضی - که معمولاْ بسیار ضعیف بودند - و
تدریس آنها، در تاریخ ریاضیات این دوران بسزایی ایفا کردند. جالب است بدانیم که
پاپ سیلوستر دوم در مدارس مسلمانان اسپانیا درس خوانده بود.
(ب) قرن دوازدهم:
از اوایل قرن دوازدهم میلادي، آثار یونانی و اسلامی به اروپاي غربی انتقال یافت و
این قرن در تاریخ ریاضیات، به قرن مترجمین بدل شد. اصول اقلیدس، المجسطی
بطلمیوس و جبر خوارزمی به لاتین ترجمه شدند و دستگاه شمار هندي-عربی در
اروپاي غربی رواج یافت.
(ج) قرن سیزدهم و چهاردهم:
به عنوان با استعدادترین ریاضیدان اروپا در قرن « لئوناردو فیبوناتچی » معمولاْ از
سیزدهم یا حتی قرون وسطی نام می برند. او در ایتالیا به دنیا آمد و در الجزایر بزرگ
شد. در سفرهایش به مصر، سیسیل، یونان و سوریه مطالب بسیاري آموخت و پس از
را « لیبرآباکی » یا « کتاب حساب » مراجعت به وطنش ایتالیا، بزرگترین کتاب خود به نام
منتشر کرد. این کتاب که تاثیر بسیاري بر ریاضیات اروپاي غربی داشت، ظاهراْ
براساس جبر خوارزمی و ابوکامل نوشته شده است، هر چند که تحقیق مستقلی در
حساب و جبر مقدماتی است. دنباله معروف فیبوناتچی در همین کتاب معرفی شده
١٦
نوشت که این « کتاب مجذورات » و « هندسه عملی » است. او دو کتاب دیگر به نامهاي
آثار فراتر از تواناییهاي اغلب فضلاي معاصر وي بودند. البته گفته شده است که
شهرت بسیار فیبوناتچی، به دلیل فقدان معاصرین همتا با وي در اروپا بوده است نه به
دلیل ویژگیهاي علمی بالاي آثار او.
لازم است که بدانیم قرن سیزدهم، شاهد ظهور دانشگاههاي پاریس، آکسفورد،
کیمبریج، پادوآ و ناپل است که بعضی از آنها به تقلید از دانشگاههاي اسلامی بنا شده
است.
معروف است، کار قابل ملاحظه اي در « مرگ سیاه » در قرن چهاردهم که به قرن
ریاضیات انجام نشد جز نشانه هایی از پیدایش هندسه مختصاتی نوین و نیز مفاهیم
اساسی پیوستگی و گسستگی و نیز مفاهیم بی نهایت کوچک و بزرگ.
(د) قرن پانزدهم و شانزدهم:
تاریخ قرن پانزدهم با آغاز رنسانس اروپا، زوال امپراطوري بیزانس به دست
مسلمین، انتشار آثار کلاسیک یونان به زبان اصلی، اختراع صنعت چاپ که نشر دانش
را با سرعتی بی سابقه میسر کرد و کشف قاره آمریکا که کشتیرانی دور کره زمین و
فعالیتهاي تجاري را افزونتر کرد، عجین شده است. این وقایع خود به خود بر پیشرفت
ریاضیات اثر بسیار نهادند. در این قرن کم کم شاهد ظهور علامات + و -- (جمع و
تفریق) و نیز استفاده از علاماتی براي مختصر نویسی ریاضی هستیم.
قرن شانزدهم شاهد یکی از کارهاي مهم در تاریخ ریاضیات است. در این قرن
نمادگرایی در جبر آغاز شد. نماد معروف تساوي در این قرن به کار گرفته شد که
که اولین بار آنرا « رکورد » علامت یک جفت پاره خط موازي و مساوي است. به قول
به کار برد، هیچ دو شیئ نمی توانند مساوي تر از این باشند. نماد رادیکال نیز در همین
ریشه) ) radix و به نشانه r قرن ابداع شد. احتمالاْ این نماد به جهت شباهت آن به
به کار گرفته شده است. در قرن شانزدهم اعداد منفی نیز مورد توجه قرار گرفتند.
در این قرن، از ریاضیات براي مقاصد اعتقادي نیز استفاده می شد. به عنوان مثال، از
ریاضی حتی براي تفسیر آیات انجیل و تورات استفاده کردند.
١٧
احتمالاْ جالبترین دستاورد ریاضی قرن شانزدهم، کشف راه حل جبري معادلات درجه
« کاردانو » ،« تارتاگلیا »،« فرّو » : 3 و 4 توسط چهار ریاضیدان ایتالیایی است که عبارتند از
داستان این کشف و نیز زندگانی این ریاضیدانان، یکی از .« فراري » (یا کاردان) و
خواندنی ترین فرازهاي تاریخ ریاضیات است که چون هدف ما بیان خلاصه اي از
وقایع تاریخ ریاضی است، از شرح آن - البته با اکراه- می گذریم. براي مطالعه آن به
صفحات 266 تا 271 جلد اول تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز مراجعه فرمایید.
نام برد که سهم « فرانسوا ویت » ، بالاخره باید از بزرگترین ریاضیدان فرانسوي این قرن
قابل ملاحظه اي در پیشرفت مثلثات دارد. او جبردان برجسته اي نیز بود و روشی براي
تقریب ریشه یک معادله ارائه و معادله درجه 3 را به روشی غیر از روش کاردان-
2a تارتاگلیا حل کرد.نمادهاي خاصی را نیز هنگام نوشتن به کار می برد. مثلاْ به جاي
.aaa و aa : 3 می نوشت a و
البته لازم است بدانیم که در این قرن چند جدول عالی براي محاسبه نسبتهاي ششگانه
مثلثاتی تالیف شد که بعضی از آنها تا 10 رقم اعشار دقت داشتند و محاسبه آنها 12
سال طول کشید.
خلاصه اي از تاریخچه ریاضی و ریاضیدانان(ریاضیات دوره اسلامی)
5. ریاضیات دوره اسلامی
آغاز و انجام تمدن اسلامی یکی از عجیب ترین وقایع تاریخ بشر است. مردمی که
قرنها در توحش می زیستند، سواد در میان آنها محلی از اعراب نداشت، دختران خود
را زنده به گور می کردند، بدترین غذاها را می خوردند و دائماْ در حال نزاع قبیله اي
بودند، فقط در عرض حدود 90 سال، تمدنی را بر پا کردند که از کرانه هاي سند در
هندوستان تا شمال افریقا و اسپانیا امتداد داشت. تمدنی که فراگرفتن علم و دانش را
جهاد راه خدا می دانست و در کتابخانه هاي آن هزاران جلد و در بعضی از آنها حدود
چهار صد هزار جلد کتاب موجود بود- مانند کتابخانه سلطنتی امیر قرطبه. به قول
جواهر لعل نهرو، در بعضی از مناطق این تمدن پهناور، تقریباْ همه سواد خواندن و
نوشتن داشتند و بعضی از شهرهاي آن بالغ بر یک میلیون نفر جمعیت داشت با تمام
١٨
امکانات رفاهی لازم. مسلمانان علوم دقیقی همچون ریاضی، فیزیک، شیمی، مهندسی،
پزشکی، نجوم و دریانوردي را با علوم معنوي همچون فلسفه، منطق، حکمت و عرفان
پیوند داده بودند. چنین تمدنی- اما - به دلیل دور شدن مسلمین از احکام زیباي
اسلام، کم کم رو به زوال نهاد و جاي خود را به تمدن غرب داد.
تمدن غرب به گواهی صدها سند و مدرك، وجود خود را مدیون تمدن اسلامی است.
اما ریاکارانه سعی در پنهان کردن این دین و کم اهمیت جلوه دادن تمدن بزرگ
اسلامی داشته و دارد. غربیها - جز اندکی از دانشمندان منصف آن- سعی دارند که
چنین جلوه دهند که تنها نقشی که تمدن هفتصد ساله اسلامی دارد، همانا محافظت از
علوم یونانی و انتقال آنها به اروپاست که توهینی بس بزرگ به این تمدن شکوهمند و
دروغی کاملا آشکار است.
با نگاهی به کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز که در حال حاضر یکی از منابع مهم
دانشگاهی کشور در درس تاریخ ریاضی است، می توان بارها و بارها این بی انصافی
را مشاهده کرد. به طور مثال وقتی از تمدن اسلامی صحبت می کند با دهها دانشمند
عالیمقام آن، تنها حدود 15 صفحه را به آن اختصاص می دهد، اما براي تشریح تاریخ
ریاضیات قرون وسطی - یا به قول خودشان قرون تاریکی - تا آخر قرن شانزدهم که
مدت آن حدود 1000 سال و کارهاي اصیل ریاضی در آن کم است، 47 صفحه از
کتاب را پر می کند و حتی گاهی به جزئیات کتابهاي ریاضیدانان این عصر می پردازد.
به طور مثال رجوع کنید به صفحات 255 و 256 (جلد اول، ویرایش دوم) که درباره
کتاب مشهور فیبوناتچی صحبت می کند( کتابی که اساساْ کپی هنرمندانه ،« لیبرآباکی »
اي از آثار خوارزمی و ابوکامل به همراه تحقیقات اوست) یا اواخر صفحه 259 و اول
صفحه 260 که درباره کتاب رگیومانتوس صحبت می کند و نیز شکل صفحه 265 . در
اینباره حرف بسیار است و درد دل فراوان که انشاءالله در وقت و جاي مناسب درباره
قضاوت منصفانه را به خواننده » . آن مفصلاْ و به طور کاملاْ مستند صحبت خواهیم کرد
«. واگذار می کنیم
حال به خلاصه اي از مطالب کتاب هاورد ایوز درباره ریاضیات دوره اسلامی می
پردازیم. البته همان طور که توضیح داده شد، این مطالب کاملاْ گزینشی و بسیار
١٩
ناقص است که به در حد توان این نقایص را رفع خواهیم کرد. برتري تمدن اسلامی
بر سایر تمدنها حدودا از سال 700 میلادي آغاز گردید و حدودا تا سال 1500 میلادي
که اسپانیا از تسلط مسلمین خارج شد، ادامه یافت. از همان ابتدا، خلفا به حامیان علم
مبدل شدند و دیگران را تشویق کردند که آثار هندي و یونانی را در نجوم، طب و
ریاضیات به زبان عربی برگردانند. در نتیجه بسیاري از علوم یونانی و هندي بدین
طریق سالم ماند و در قرون وسطی از میان نرفت. به طور خلاصه به شرح بعضی از
کارهاي مسلمین در ریاضیات می پردازیم:
1. ترجمه المجسطی (اثر بطلمیوس) و اصول قلیدس از یونانی به عربی
از همین کتاب اقتباس Algebra 2. تالیف کتاب الجبر و المقابله - که کلمه
لاتینی شده ،« آلگوریتم » شده است- و کتابی درباره ارقام هندي - که بوسیله آن کلمه
این .« محمد بن موسی خوارزمی » به ریاضیات اضافه شد - توسط ،« الخوارزمی » کلمه
دو کتاب تاثیر بسیار زیادي در پیشرفت ریاضیات اروپا داشتند.
در ترجمه بسیار خوب آثار یونانی و نیز کارهاي او در « ثابت بن قُره » 3. کارهاي
جبر مقدماتی، مربعهاي جادویی و یافتن اعداد متحابه که ظاهراْ از اولین کارهاي اصیل
ریاضیات توسط مسلمین است. او قضیه فیثاغورث را به روش زیبایی تعمیم داده است
او جدول بزرگی از سینوس .« ابوالوفاي بوزجانی » 4. معرفی تابع تانژانت به وسیله
و تانژانت زوایا را براي محاسبات مثلثاتی به دست آورد.
که یکی از فاضلانه ترین « کرجی » یا « کرخی » از « فخري » 5. تالیف کتابی به نام
کارهاي مسلمین در جبر است. همچنین کرخی قضایایی ارائه کرد که مجموع مربعات
عدد طبیعی را محاسبه می کرد. n و مکعبات اولین
که یکی از عمیقترین و « عمر خیام » 6. حل هندسی معادله درجه سوم توسط
بدیعترین آثار جبري مسلمین است.
٢٠
مباحث او در .« خواجه نصیرالدین طوسی » 7. تولد هندسه نا اقلیدسی با کارهاي
این زمینه، حدوداْ 450 سال بعد در قرن هفدهم میلادي در دانشگاه آکسفورد براي
تدریس هندسه مورد استفاده قرار گرفت. برهان اصیلی نیز براي قضیه فیثاغورث به
خواجه نصیر منسوب است.(مراجعه کنید به صفحه 232 جلد اول کتاب تاریخ
ریاضیات هاوارد د. ایوز)
که تا 200 سال « غیاث الدین جمشید کاشانی » 8. تقریب عدد پی تا 16 رقم توسط
بعد از او کسی به دقت او در محاسبه عدد پی به روش کلاسیک نرسید. همچنین او
کارهاي جالبی درباره ارتباط بین قضیه دو جمله اي نیوتن و مثلث خیام-پاسکال انجام
داده است.
9. مسلمین کارهاي زیادي براي حل معادلات سیاله انجام دادند. به عنوان مثال
برهانی بر این قضیه ارائه کردند که مجموع مکعبات دو عدد طبیعی برابر مکعب هیچ
است. « آخرین قضیه فرما » عدد طبیعی نمی شود. این قضیه حالت خاصی از
10 . بسیاري از نامها و واژه هاي کنونی را می توان در دوره مسلمین یافت. به طور
به ،« جیب » ترجمه لاتینی کلمه عربی « سینوس » مثال بد نیست بدانید که کلمه
معناي خلیج کوچک است.
خلاصه اي از تاریخچه ریاضی و ریاضیدانان(ریاضیات چین و هند)
4. ریاضیات چین و هند
مختصري از تاریخ ریاضیات چین از حدود 1000 قبل از میلاد تا قرن 14 بعد از میلاد:
- چینیان باستان با حساب دهدهی آشنایی داشتند و از آن در محاسبات علمی و
روزمره استفاده می کردند.
- ابداع مربعهاي جادویی
- آنها با قضیه فیثاغورث -بدون برهان - آشنایی کامل داشتند.
٢١
که قضیه مشهوري در جبر و درباره حل معادلات همنهشتی خطی « قضیه چینی » - آنها
است، به جهانریاضیات تقدیم کردند.
تا 6 رقم اعشار دیده می شود. « عدد پی » - در بعضی از آثار آنها، محاسبه درست
اولین بار به وسیله چینیان ارائه شده ،« خیام-پاسکال » - احتمالاْ مثلث حسابی معروف
است.
مختصري از تاریخ ریاضیات هندي از حدود 450 میلادي تا قرن 14 بعد از میلاد:
- معرفی عمل ضرب به شیوه کنونی
- به دست آوردن مجموع تصاعد هاي حسابی و هندسی
- آشنایی با اعداد منفی و گنگ
- حل کامل معادلات درجه 2
- یافتن همه جوابهاي بعضی از معادلات سیاله
- به دست آوردن فرمول هرون براي محاسبه مساحت مثلث و تعمیم آن به یک چهار
ضلعی محاطی
- ساختن جداولی براي سینوسها
هستند که به « بهاسکره » و « مهاویره » ،« برهمگوپته » - سه ریاضیدان معروف قدیم هند
ترتیب در قرون هفتم، نهم و دوازدهم میلادي می زیستند. ریاضیدان معروف قرون
است که در نظریه اعداد کارهاي بزرگی انجام داد « رامانوجان » جدید هند، نابغه هندي
و حدوداْ 33 سال بیشتر عمر نکرد.
ریاضیات هندي مخلوطی از صدف و خزف یا ممزوجی »: - سخن ابوریحان بیرونی
این جمله به خوبی نشان دهنده تسلط ) « از در پر بها و سنگریزه بی بها است
ریاضیدانان مسلمان است بر ریاضیات زمان خود که می توانستند ریاضیات عالی را از
مقدماتی تمییز و درباره آن اظهار نظر کنند.)
٢٢
خلاصه اي از تاریخچه ریاضی و ریاضیدانان(ریاضیات یونان باستان)
3. ریاضیات یونان باستان
با شروع هزاره اول میلادي و با افول تمدن بزرگ مصر و بابل، کم کم تمدنهاي
جدیدي مانند تمدن یونانی، فنیقی و آسوري پا به عرصه وجود گذاشتند. با تکامل
مانوس تر شد. « چرا » ذهنی بشر، انسان با کلمه
- چرا زوایاي متقابل به راس با هم برابرند؟
- چرا در مثلث متساوي الساقین دو زاویه روبه رو به دو ساق برابرند؟
به این ترتیب، ریاضیات برهانی متولد شد و یونانیان در این امر پیشتاز بوده اند. در این
قسمت به طور بسیار خلاصه، به نام و کارهاي ریاضیدانان یونانی به ترتیب
زمانی خواهیم پرداخت.
1. تالس یکی ریاضیدانانی است که براي اولین بار به وسیله استدلال منطقی و
بدون استفاده از شهود، چند قضیه مهم هندسه را ثابت کرد. (مراجعه کنید به صفحه
65 جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز)
2. فیثاغورس (یا به عبارت درست تر فیثاغورسیان که پیروان و شاگردان او بودند)
نیز سهم بسزایی در تکامل ریاضیات برهانی داشت. خلاصه اي از کارهاي فیثاغورسیان
را مرور می کنیم:
(الف) این گروه اولین قدمها را در رشد نظریه اعداد برداشتند، مانند معرفی اعداد
متحابه، تام، ناقص و زاید (مراجعه کنید به صفحه 70 و 71 جلد اول کتاب تاریخ
ریاضیات هاوارد د. ایوز ) و نیز معرفی اعداد مصور مثلثی، مربعی، مخمسی (مراجعه
کنید به صفحه 72 تا 74 جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز).
٢٣
(ب) اولین برهان منطقی و درست از قضیه فیثاغورس که بابلیان قدیم بدون برهان از
آن استفاده می کردند.
(ج) کشف عدد گنگ که یکی از حوادث مهم تاریخ ریاضیات است.
(د) ابداع جبر هندسی براي بیان اتحادهاي جبري در قالب اصطلاحات هندسی. براي
رسم کنیم.) n+ توضیح بیشتر، اتحاد را رسم کرد. کافیست دایره اي به قطر 1
(و) معرفی بعضی از اجسام پنجگانه افلاطونی یا اجسام منتظم پنجگانه (یک چند
وجهی را منتظم گوییم اگر وجوه آن چند ضلعی هاي منتظم مساوي باشند و کنجهاي
آن نیز همگی برابر. )
(ز) بسط روش اصل موضوعی که اثبات یک ادعاست به وسیله سلسله استنتاجهاي
دقیق از چند فرض آغازین که کاملاْ مشخص هستند.
3. افلاطون و شاگردان او: تقریباْ تمام کارهاي مهم ریاضی قرن چهارم قبل از میلاد
به وسیله شاگردان افلاطون انجام شده است و آنها حلقه ارتباط بین فیثاغورسیان و
ریاضیدانان مکتب اسکندریه بودند. نظر افلاطون درباره ریاضییات این بود که این علم
عالیترین زمینه را براي تعلیم ذهن فراهم می سازد و اداره کنندگان جامعه باید ریاضی
هر کس هندسه » : بدانند. معروف است که افلاطون بر سر در آکادمی خود نوشته بود
«. نمی داند وارد نشود
کارهایی که معاصران افلاطون انجام دادند:
(الف) کشف مقاطع مخروطی (مقاطع مخروطی معمولا شامل دایره، سهمی، هذلولوي
و بیضی میشود.)
(ب) تضعیف مکعب (چگونگی ترسیم ضلعی از یک مکعب -فقط با خط کش و
پرگار- که حجم آن مکعب دو برابر حجم مکعبی مفروض است.)
(ج) تثلیث زاویه (چگونگی تقسیم یک زاویه دلخواه به سه قسمت مساوي-فقط با
خط کش و پرگار)
(د) تربیع دایره (چگونگی ساختن مربعی که داراي مساحتی برابر با مساحت دایره
٢٤
مفروضی باشد -فقط با خط کش و پرگار)
توضیح: توجه کنید که می توان ثابت کرد هیچکدام از کارهاي بالا -یعنی تضعیف
مکعب، تثلیث زاویه و تربیع دایره را نمی توان فقط به وسیله خط کش و پرگار انجام
داد که داستان مفصل و جالبی براي خود دارد. همچنین توجه کنید که تربیع دایره پیوند
نزدیکی با محاسبه عدد پی دارد (در صفحه 116 جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات
هاوارد د. ایوز،می توانید تاریخچه زیبایی از عدد پی را مشاهده فرمایید که شامل 38
مدخل است از کارهاي یونانیان، مسلمین، اروپائیان و ریاضیدانان عصر جدید درباره
این عدد.)
4. اقلیدس: او استاد ریاضییات دانشگاه اسکندریه بود و احتمالاْ در آتن یونان
درس خوانده است. اقلیدس در دوران خود، به فروتنی و توجهش به دیگران معروف
بود. بد نیست بدانیم که اسکندریه در آن زمان در حدود پانصد هزار نفر جمعیت
داشت و دانشگاه آن بسیار بزرگ و مجهز به سالنهاي سخنرانی، آزمایشگاه، خوابگاه و
کتابخانه بود و در این کتابخانه حدوداْ ششصد هزار طومار پاپیروس وجود داشت و
حدود هزار سال پابرجا ماند.
- اقلیدس حدود 10 کتاب تالیف کرده است که مهمترین اثر او کتاب اصول اوست که
شاید یکی از مهمترین کتابهاي تمام تاریخ بشر باشد. لازم است بدانیم که این اثر به
وسیله مسلمین به دست اروپائیان رسید و اروپائیان اصول اقلیدس را از عربی به لاتین
ترجمه کردند.
این کتاب شامل 13 مقاله و حاوي 465 قضیه درباره هندسه مسطحه، هندسه فضایی،
نظریه اعداد و جبر مقدماتی هندسی است.
- قضایاي معروف این کتاب: آلگوریتم اقلیدسی (براي تشخیص متباین بودن دو عدد)،
قضیه اصلی
حساب و اثبات این که تعداد اعداد اول بی نهایت است.
- احتمالاْ این کتاب تدوینی منظم و زیبا از آثار ریاضیدانان قبل از اقلیدس به همراه
کارهاي خود اقلیدس است و شاید قصد او از تالیف این کتاب این بوده است که یک
٢٥
کتاب درسی مقدماتی در ریاضی عمومی بنویسد. البته اقلیدس در ریاضیات عالی نیز
کتابهاي درسی تالیف کرده است.
- به نظر می رسد که مهمترین کار او در این کتاب آن باشد که سعی کرده است
تمام 465 قضیه را
فقط بر اساس 10 اصل موضوع اثبات کند
را بزرگترین « گاوس » و « نیوتن » ،« ارشمیدس » 5. ارشمیدس: اروپائیان معمولاْ
ریاضیدانان همه اعصار می دانند. اگر این مطلب درست هم نباشد، ظاهراْ می توان
گفت ارشمیدس بزرگترین ریاضیدان عهد باستان بود.
- حدوداْ در سال 287 قبل از میلاد متولد شد و به احتمال قوي مقداري از عمر خود
را در دانشگاه اسکندریه گذراند.
- درباره زندگانی ارشمیدس مطالب جالبی نقل شده است: دفاع از سیراکوز (شهر
ارشمیدس)در مقابل سپاه روم و شکست رومیان فقط به وسیله اهرمها و جرثقیلها و
نیز تمرکز ذهنی بسیار قوي بطوریکه هنگام حل مساله از اطراف خود کاملا بی خبر
می شد- و همین بی خبري بالاخره باعث مرگ او شد.
- ارشمیدس سه کتاب درباره هندسه مسطحه، دو کتاب درباره هندسه سه بعدي، دو
مقاله درباره نظریه اعداد، دو رساله (نامه) درباره ریاضیات کاربردي (در واقع فیزیک
دارد که روش او را در کشف بسیاري « روش » ریاضی) و یک رساله (نامه) تحت عنوان
از قضایا شرح می دهد. این رساله در سال 1906 میلادي کشف شد.
- مقاله هاي ارشمیدس شاهکارهایی از بیان ریاضی هستند و تا حد قابل توجهی به
مقاله هاي امروزي شباهت دارند.
- او در بسط اولیه مفاهیم انتگرال براي محاسبه مساحتها و حجمها نقش اساسی دارد.
را کشف کرد. در این روش با ترسیم چند « عدد پی » او روش کلاسیک براي محاسبه
می « عدد پی » ضلعیهاي محاطی و محیطی براي دایره واحد، به تقریب جالبی براي
رسیم.
براي « هرون » - ارشمیدس - به ادعاي ابوریحان بیرونی - کاشف فرمول مشهور
٢٦
مساحت مثلث برحسب سه ضلع آن است.
- او در رساله اي درباره مقدار تقریبی دانه هاي شنی که کره اي به مرکز زمین و به
شعاع زمین تا خورشید را پر نماید، صحبت کرده است.
- در رساله دیگري سعی می کند که یک معادله هشت مجهولی با مقادیر صحیح را که
به وسیله هفت معادله خطی به هم مربوط شده اند، حل کند و یکی از جوابهاي این
رقم!! «206500» معادله عددي است با بیش از
6. آپولونیوس: هندسه دان کبیر باستان و واضع رسمی مقاطع مخروطی که نامهاي
یونانی بیضی، سهمی و هذلولوي به وسیله او به این شکلهاي هندسی داده شده است.
7. دیوفانتوس: این ریاضیدان، داراي نبوغ عجیبی در نظریه جبري اعداد بود و
مسائل ارائه شده توسط او در بسط جبر و نظریه اعداد اهمیت بسیاري دارند.
8. پاپوس: شارح بزرگ آثار هندسه دانان یونانی که ما قسمت عمده دانش خود را
از هندسه یونان باستان، به رساله بزرگ او مدیونیم.
خلاصه اي از تاریخچه ریاضی و ریاضیدانان(ریاضیات بابلی و مصري)
. ریاضیات بابلی و مصري
با پیشرفته تر شدن جامعه بشري، انسان به ریاضیات عملی براي کارهاي کشاورزي،
مهندسی، علوم مالی و بازرگانی، محاسبات مربوط به زمان و تقویم، سنجش اوزان و
مقادیر و ... نیازمند شد. کم کم با تقویت ذهن بشر، انسان به تجرید گرایش پیدا کرد و
ریاضیات را براي ریاضیات مورد مطالعه قرار داد و در نتیجه، تمدنهایی همچون بابل،
مصر، چین و هند ایجاد شد. حال به بررسی مختصر تاریخ ریاضی بابل و مصر باستان
می پردازیم به دودلیل: یکی اینکه این دو از پیشرفته ترین تمدنهاي باستانی هستند و
دیگر اینکه سندهاي معتبري از ریاضیات تمدنهاي مهم دیگر مانند چین و هند باستان
در دست نیست. (البته در قسمتهاي بعدي، مختصرا به این دو تمدن نیز خواهیم
٢٧
پرداخت. )
ریاضیات بابلی:
بررسی لوحهاي پخته، نشان از مهارت بسیار بابلیها در محاسبه دارد. بسیاري از
محاسبات عددي که براي انواع و اقسام قراردادهاي رسمی و غیر رسمی مانند صورت
حساب، رهن، قباله و ضمانت لازم بود، به کمک جداول انجام می شد، مانند جداول
ضرب ، جداول معکوس اعداد،
جداول مربعات و مکعبات و جداول توانها. این محاسبات بر حسب دستگاه موضعی
شصتگانی بوده اند.
احتمالاْ بابلیها با با قواعد کلی محاسبه مساحتهاي اشکال دو بعدي - مانند ·
مستطیل، مثلث و ذوزنقه- و سه بعدي - مانند مکعب مستطیل- و حتی محاسبه
مساحت دایره آشنا بوده اند و عدد پی را سه یا سه و یک هشتم در نظر می گرفته اند.
تقسیم محیط دایره به 360 قسمت را مدیون بابلیها هستیم. ·
آنها احتمالا با قضیه فیثاغورس نیز آشنا بوده اند. در تجزیه و تحلیل لوح معروفی ·
مشخص شده است که آنها با سه تاییهاي فیثاغورسی (Polimpton) به نام پلیمپتن
و جداول مثلثاتی به طور حیرت آوري آشنا بوده اند.
3 و حتی درجه 4 را نیز می دانسته ، ظاهرا روش حل بعضی از معادلات درجه 2 ·
اند.
توجه کنید که ریاضیات ایران باستان را نیز می توان جزئی از ریاضیات بابلی ·
دانست.
ریاضیات مصر باستان:
٢٨
آنگونه که از بررسی پاپیروسهاي به جا مانده از مصریان قدیم می توان گفت این ·
است که سطح ریاضی مصریان قدیم، هرگز به ریاضیات بابلی نرسید. بیشتر مسائل
ریاضی باقیمانده از مصریان باستان، عددي و بسیار ساده هستند. اما از بعضی لحاظ،
ریاضیات مصري را نمی توان نادیده گرفت. به طور مثال، مصریان از اعداد بزرگ مانند
صدهزار و یک میلیون استفاده می کرده اند و دقت محاسبه اي که در ساختن اهرام
مصر به کار رفته، واقعاْ حیرت آور است.
مصریان، ضرب و تقسیم اعداد را به گونه اي جالب انجام می دادند به طویکه ·
نیازي به حفظ کردن جدول ضرب نبود.
مصریان سعی می کردند کسرها را به صورت مجموعی از کسرها با صورت ·
یک بنویسند و به این وسیله مجموع کسرها را راحت تر به دست می آوردند.
احتمالاْ از تصاعدهاي حسابی و هندسی نیز استفاده می کرده اند. ·
در جبر مصري تا حدي نماد گرایی نیز وجود داشت و نمادهایی براي جمع و ·
تفاضل داشتند.
ظاهراْ قاعده محاسبه مساحت مثلث را می دانستند و با بعضی از نسبتهاي ·
مثلثاتی(مانند کتانژانت) آشنا بوده اند.
3 حساب می کردند. / عدد پی را حدوداْ 16 ·
ظاهراْ از قضیه فیثاغورس هیچ اطلاعی نداشتند، اما زاویه قائمه را با ساختن ·
4 و 5 می ساختند. ، مثلثی به اضلاع 3
بعضی از مسائل (همچون محاسبه درست هرم ناقص مربع القاعده) در پاپیروسهاي
مصري موجود است که نظیر آن در هیچ جاي دیگري از شرق باستان، یافت نشده
است
٢٩
یک کاغذ را چند بار میتوان تا کرد
شاید تا کنون با این مسئله روبرو شده باشد که در مواقعی که بیکار هستید یا اینکه
انتظار خبر مهمی را می کشید براي سرگرم کردن خودتان کاغذي را که در اطرافتان
هست بردارید و شروع به تا کردن آن کنید و بعد از چند بار متوجه شوید که دیگر
نمی شود کاغذ را تا کرد. در این صورت یا از تا کردن کاغذ منصرف می شوید یا آن
را باز می کنید و دوباره شروع به تا کردنش می کنید... البته ممکن است قبل از اینکه
به آن زمان برسید خبر مهم به شما داده شود و کاغذ را به جاي اولش برگردانید !!!
این مسئله را همه ما تجربه کرده ایم اما شاید هیچ کدام از ما به طور جدي روي آن
فکر نکرده باشیم .
اگر ورق را هر بار طوري تا کنید که اندازه آن نصف شود بیش از 7 یا 8 بار نمی
توانید آن را تا کنید. مهم نیست ورق اولیه شما چقدر بزرگ باشد. شاید تا به حال این
قضیه را شنیده باشید و سعی کرده باشید که آن را امتحان کنید و متوجه شده باشید که
تا کردن کاغذ بیش از 7 یا 8 بار بسیار سخت است. آیا می توان گفت که این اعداد یک
محدودیت مستدل و عمومی براي تا کردن کاغذ هستند؟
است . t و ضخامت w فرض کنید شما کاغذي را انتخاب کرده اید که داراي پهناي
اگر شما شروع به تا کردن ورق از یک سمت بکنید وقتی به جایی برسید که دیگر
نتوانید کاغذ را تا کنید یک نوار باریک خواهید داشت .
با هر تا کردنی ضخامت کاغذ دو برابر می شود و پهناي آن نصف خواهد شد. یعنی
بار تا کردن ضخامت خواهد بود و البته مشخص است که پهنا می شود و N بعد از
نسبت ضخامت به پهنا برابر می شود .
این کار را انجام دهید بعد از 7 cm و ضخامت 0.002 cm اگر با کاغذي به پهناي 11
٣٠
6 می شود. این بدان معنیست که اندازه ضخامت از / برابر 1 t/w بار تا کردن نسبت
پهنا بیشتر می شود و در نتیجه دیگر قادر به تا کردن کاغذ نخواهید بود. اگر این کاغذ
را 50 بار بزرگتر کنید شاید بتوانید آن را تا 10 بار هم تا کنید .
اگر به صورت متناوب کاغذ را از عرض و طول تا کنید ممکن است تعداد دفعات
بیشتري بتوانید به تا کردن کاغذ ادامه دهید. در این صورت هر بارضخامت دو برابر می
شود در صورتی که پهنا هر دو دفعه یک بار نصف می شود .
چندین سال پیش هنگامی که بریتنی گالیوان در دبیرستان درس می خواند با این مسئله
رو به رو شد که چگونه کاغذي را 12 بار تا کند . او باید براي گرفتن نمره از یکی از
کلاسهایش این مسئله را حل می کرد. بعد از آزمایش راه هاي مختلف او موفق شد که
ورقه نازکی از طلا را 12 بار تا کند. اما مسئله طرح شده در باره کاغذ بود و نه طلا .
گالیوان بر روي معادله تعداد دفعاتی که می توان یک کاغذ با اندازه معین را تا کرد کار
کرد .
تعداد دفعاتی است که n میزان ضخامت کاغذ و t ، کمترین درازاي کاغذ L که در آن
باید یکسان باشد . L و t می توان کاغذ را تا کرد. واحد
بار n براي یک طول و ضخامت معین عبارت بیانگر آن است که صفحه بعد از
شروع می کنیم و به همین ترتیب به n= تاکردن چند برابر کوچک شده است. با 0
رشته اي از اعداد به این صورت می رسیم :
0, 1, 4, 14, 50, 186, 714, 2794, 11050, 43946, 175274, 700074,
2798250, . . .
این به این معنی است که در تاي دوازدهم 2798250 برابر مقدار کاغذي که در تاي
٣١
اول از دست می رود از دست خواهد رفت .
چگونگی Historical Society of Pomona Valley گالیوان در کتابی با نام
به دست آوردن این معادله و تلاشش براي حل مشکل را توضیح داده است .بالاخره
گالیوان یک کاغذ بزرگ را 12 بار تا کرد. June در 2002
جبر یکی از سه شاخه مهم ریاضیات ( جبر - آنالیز - هندسه )
جبر
جبر از شاخه هاي اصلی علم ریاضیات است که تاریخی بیش از 3000 سال دارد .
این علم در طول تاریخ تحولات بسیاري داشته و در حال حاضر شامل شاخه ها ي
زیادي است.
تاریخچه ي این علم به بیش از 3000 سال پیش در مصر و بابل برمی گردد که در آنجا
در مورد حل برخی از معادلات خطی بحث شده است. در هند و یونان باستان نی ز ،
حدود یک قرن پیش از میلاد از روش هاي هندسی براي حل برخی از معادلات جبري
استفاده می گردیده است . در قرن اول میلادي نیز بحث در مورد برخ ی از معادلات
جبري در آثار دیوفانتوس یونانی و برهماگوپتاي هندي دیده می شود .
کتاب جبر و المقابله ي خوارزمی ، اولین اثر کلاسیک در جبر می باشد که که کلمه ي
از آن آمده است. خیام دیگر ریاضی دان شهیر ایرانی است که در Algebra جبر یا
آثار خود جبر را از حساب تمییز داد و گامی بزرگ را در تجرید و پیشرفت این علم
برداشت .
(Scipione del درقرن 16 میلادي ، روش حل معادلات درجه سوم توسط دل فرو
کشف (Ludovico Ferrari ) و معادلات درجه چهارم توسط فرار ي Ferro)
گردید .
ریاضی دان فرانسوي که در 20 سالگی در ، ( Évariste Galois ) اواریست گالوا
جریان انقلاب فرانسه در یک دوئل کشته شد ، بیشترین سهم را در پیشرفت و تجرید
٣٢
این علم داشت که نوشته هاي او ، سال ها پس از مرگش ، پس از مطالعه و بررس ی
توسط دیگر ریاضی دانان موجب تحول عظیم در این علم گردید .
نروژي اولین کسی بود که ثابت کرد ( Niels Henrik Abel ) نیلز هنریک ابل
معادلات درجه 5 به بالا ،بوسیله ي رادیکال ها حل پذیر نیستند .
ریاض ی دان آلما نی که ، ( Carl Friedrich Gauss ) کارل فری دریش گاوس
تاثیرات ژرفی د ر توسعه ي شاخه هاي مختلف برداشته ، سهم زی ادي در پی شرفت
این علم داشت که مهم ترین آن همانا قضیه اساسی جبر می باشد.
پس از کارهاي اویلر ، لاگرانژ ، گاوس ، کوش ی و بس یاري دیگر از بزرگتر ین
ریاضی دانان تاریخ ، علم جبر به قرن بیستم رسید که با شروع این قرن و به دلیل کشف
تناظر هاي شاخه هایی از این علم با شاخه هایی از هندسه ، ای ن علم در شاخه ها ي
مختلف پیش رفت .
از جمله بزرگ ترین پیشرفت هاي جبر و ریاضیات در این قرن ، کلاس بندي گروه هاي
ساده ي متناهی می باشد.
توضیحاتی در مورد ریاضی و مباحث آن
ریاضیات را معمولا دانش بررس ی کمیت ها و ساختار ها و فضا و دگرگو نی (تغیی ر)
تعریف می کنند. دیدگاه دیگري ریاضی را دانشی می داند که در آن با استدلال منطقی از
اصول و تعریف ها به نتا یج دقیق و جدیدي می رسیم (دیدگاه هاي دیگري نیز در فلسفه
ریاضیات بیان شده است.)
ریاضیات خود یکی از علوم طبیعی به شمار نم ی رود، ول ی ساختارها ي وی ژه اي که
ریاضیدانان می پژوهند بیشتر از دانشهاي طبیعی به ویژه فیزیک سرچشمه می گیرند.
٣٣
علوم ط بیعی و مهندسی و اقتصاد و پزشکی بس یار به ر یاض یات تکی ه دارد ول ی گاه
ریاضیدانان به دلایل صرفا ریاضی (و نه کاربردي) به تعریف و بررسی برخی ساختارها
می پردازند.
موضوع هاي اصلی ریاضیات
در ز یر بعض ی از اصل ی ترین شاخه ها و موضوعات ر یاضی به صورت دسته بندي شده
ارائه شده است:
موضوع هاي اصلی ریاضیات
1.1 کمیت o
1.2 ساختار o
1.3 فضا o
1.4 تغییر o
1.5 پایه ها و روش هاي ریاضیات o
1.6 ریاضیات گسسته o
1.7 ریاضیات کاربردي o
1.8 قضیه ها و حدس هاي مشهور o
1.9 تاریخچه و جهان ریاضیات o
1.10 ریاضیات و رشته هاي دیگر o
1.11 ابزارهاي ریاضی o
٣٤
کمیت
عدد- اعداد ط بیعی- اعداد حسا بی- اعداد صح یح- اعداد اول - اعداد مرکب - اعداد
گویا- اعداد گنگ - اعداد حق یقی- اعداد مختلط - اعداد جبر ي-عدد پ ی- عدد اي-
Hypercomplex- چهارگان ها- هشت گان ها- شانزده گان ها - اعداد پ ی- ادی ک
بینهایت- اعداد -Surreal numbers-number Hyperreal-numbers
ترتیبی-اعداد اصلی- ثابت هاي ریاضی
ساختار
جبر مج رد-نظریه اعداد -هندسه جبر ي-نظریه گروه ها -مونوئی دها-آنا لیز ر یاض ی-
توپولوژي-جبر خط ی-نظریه گراف-جبر عمومی-نظریه مقوله ها-نظریه ترتیب-نظری ه
مزور
فضا
توپولوژي، هندسه، مثلثات، هندسه جبر ي، هندسه د یفرانسیل، توپولوژ ي د یفرانس یل،
توپولوژي جبري، جبر خطی، هندسه برخالی، متري
تغییر
حساب-حسابان-حساب بردار ي-آنالیز ر یاض ی-معادلات د یفرانس یل-سی ستم ها ي
دینامیکی-نظریه آشوب-فهرست تابع ها
پایه ها و روش هاي ریاضیات
فلسفه ر یاضیات-شهودگرایی-ساخت گرائی-مبانی ر یاضیات-نظریه مجموعه ها-منطق
نمادي-نظریه مدل-نظریه مقولات-منطق-ریاضیات معکوس-جدول نمادهاي ریاضی
ریاضیات گسسته
٣٥
+ نوشته شده در دوشنبه بیست و نهم خرداد ۱۳۹۶ ساعت 17:52 توسط علی سرداری نیا
|
این بازرگانی با سابقه ای چند ساله در امر صادرات کالا های مجاز به کشور عراق فعالیت داشته و مبادرت به ارز آوری به داخل کشور عزیزمان نموده است . از جمله صادرات این بازرگانی : لوازم خانگی - ورق گالوانیزه - کاشی و سرامیک - سفال و ... بوده و هنوز ادامه دارد .